TOUGH
2018년 09월 고1 학력평가 16번
닮음비와 넓이비
내분점
직선의 기울기
출제의도
이 문항은 직선의 방정식 단원에 있지만, 실제 승부는 도형의 닮음에서 갈립니다. DE∥BC라는 조건이 △ADE ∽ △ABC를 만들고, 넓이의 비 1 : 9가 닮음비 1 : 3을 결정합니다. 이 한 줄을 세우면 점 E는 선분 AC를 1 : 2로 내분하는 점으로 고정되고, 남은 일은 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하는 것뿐입니다.
출제자가 노리는 지점은 넓이비 → 닮음비 → 내분비로 이어지는 세 번의 번역입니다. 세 숫자가 각각 1 : 9, 1 : 3, 1 : 2로 전부 다르기 때문에, 어느 한 칸을 건너뛰면 E의 좌표가 틀어지고 그 뒤 계산은 아무리 정확해도 오답이 됩니다. 점 D가 문제에 등장하지만 답에는 전혀 쓰이지 않는다는 점도, 조건을 읽고 필요한 것만 골라내는 능력을 시험하는 장치입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
구해야 하는 것은 직선 BE의 기울기 k입니다. B(0, 1)은 이미 알고 있으니, 결국 점 E의 좌표 하나만 알아내면 문제가 끝난다는 구조를 먼저 파악하세요.
조건 (가) DE∥BC는 두 삼각형이 닮았다는 뜻이고, 조건 (나)의 넓이의 비는 닮음비를 알려줍니다. 닮은 두 도형의 넓이의 비가 a² : b²이면 닮음비는 a : b라는 관계를 거꾸로 적용해 보세요. 그러면 AE와 AC의 길이 관계가 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
넓이의 비 1 : 9 = 1² : 3²이므로 닮음비는 1 : 3, 즉 AE : AC = 1 : 3입니다. 여기서 한 걸음 더 나가야 합니다. E는 선분 AC 위의 점이므로 EC = AC − AE가 되어 AE : EC = 1 : 2가 됩니다. 내분점 공식에 넣을 비는 1 : 3이 아니라 1 : 2입니다.
두 점 A(3, 5), C(6, −1)에 대하여 선분 AC를 m : n으로 내분하는 점의 좌표는 ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))입니다. E의 좌표를 구한 뒤에는 두 점 B, E를 지나는 직선의 기울기를 구하거나, 주어진 식 y=kx+1에 E를 대입해 k를 바로 뽑아도 됩니다.
정답 확인
정답 ④ k = 12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A닮음비에서 내분비 AE : EC = 1 : 2 얻기
조건 (가)에서 DE∥BC이므로 △ADE ∽ △ABC입니다. 조건 (나)에서 두 삼각형의 넓이의 비가 1 : 9 = 1² : 3²이므로 닮음비는 1 : 3, 즉 AE : AC = 1 : 3입니다. 따라서 EC = AC − AE에서 AE : EC = 1 : 2가 됩니다.
STEP B내분점 공식으로 점 E의 좌표 구하기
두 점 A(3, 5), C(6, −1)에 대하여 선분 AC를 1 : 2로 내분하는 점 E의 좌표는 ((1×6+2×3)/(1+2), (1×(−1)+2×5)/(1+2)) = (12/3, 9/3), 즉 E(4, 3)입니다.
STEP C직선 BE의 기울기 k 구하기
두 점 B(0, 1), E(4, 3)을 지나는 직선의 기울기는 (3−1)/(4−0) = 12이므로 직선 BE의 방정식은 y = 12x + 1입니다. 주어진 식 y=kx+1과 비교하면 k = 12입니다. 직선 y=kx+1이 점 E(4, 3)을 지난다는 사실을 그대로 써서 3=4k+1로부터 k를 구해도 같습니다.
1등급 다른 풀이 · 벡터로 한 줄에 끝내기
E의 좌표를 따로 구하지 않고, B에서 E로 가는 이동 자체를 계산하면 기울기가 한 번에 나옵니다.
B에서 A로 가는 이동은 (3−0, 5−1) = (3, 4)이고, A에서 C로 가는 이동은 (6−3, −1−5) = (3, −6)입니다. 점 E는 A에서 C 쪽으로 전체의 13만큼 간 지점이므로 A에서 E로 가는 이동은 (1, −2)입니다.
따라서 B에서 E로 가는 이동은 (3, 4) + (1, −2) = (4, 2)이고, 기울기는 24 = 12입니다. 내분점 공식을 외우지 못했더라도 ‘오른쪽으로 4, 위로 2’라는 이동만 세면 답이 나옵니다. 좌표평면 문제에서 내분점을 이동의 합으로 보는 시각은 원의 방정식·도형의 이동 단원에서도 그대로 쓰입니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이의 비 1 : 9는 닮음비 1 : 9가 아닙니다. 넓이비가 a² : b²일 때 닮음비가 a : b이므로 여기서는 1 : 3입니다. 제곱을 벗기는 이 한 단계를 빠뜨리는 학생이 가장 많습니다.
- 닮음비 1 : 3은 AE : AC이고, 내분점 공식에 넣을 비는 AE : EC = 1 : 2입니다. 전체와의 비인지 나머지와의 비인지 매번 구분해서 쓰세요.
- 내분점 공식에서 곱하는 순서를 헷갈리지 마세요. 선분 AC를 m : n으로 내분할 때 x좌표는 (m×C의 x + n×A의 x)/(m+n)으로, m에는 먼 쪽 점의 좌표가 곱해집니다.
- 점 D는 답에 쓰이지 않습니다. D의 좌표까지 구하려다 시간을 흘려보내지 말고, 문제가 요구하는 최소 경로만 계산하세요.
- 주어진 직선의 식 y=kx+1의 y절편 1이 곧 점 B(0, 1)입니다. 이 사실을 알아채면 E를 대입하는 것만으로 k가 나오므로, 검산 수단으로 반드시 활용하세요.
엄선된 풀이 영상
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