TOUGH
최다빈출 왕중요
두 점을 지나는 직선
대각선의 교점
연립방정식
출제의도
이 문항은 ‘사각형의 두 대각선의 교점’이라는 도형 표현을 두 직선의 교점이라는 대수 표현으로 바꿀 수 있는지를 묻습니다. 대각선 AC와 BD의 방정식을 각각 구한 뒤 연립하면 끝나는 구조라, 풀이의 길이는 짧지만 그 안에 직선의 방정식 단원의 기본기가 전부 들어 있습니다.
최다빈출·왕중요 표시가 붙은 이유는 난이도가 아니라 재사용 빈도 때문입니다. 네 점이 주어진 사각형에서 대각선의 교점을 묻는 구조는 이후 넓이 이등분, 평행사변형 조건, 도형의 이동 단원까지 계속 변주되어 나옵니다. 여기서 ‘어느 두 점을 이어야 대각선인가’를 정확히 짚는 습관을 만들어 두는 것이 이 문제의 진짜 목적입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
사각형 ABCD에서 대각선은 이웃하지 않은 꼭짓점을 잇는 선분이므로 AC와 BD 두 개입니다. AB나 BC는 변이지 대각선이 아닙니다. 그림을 보고 눈으로 교점을 찾으려 하지 말고, 두 대각선을 각각 ‘직선’으로 바꿔 놓는 데서 출발하세요.
두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 지나는 직선은 기울기를 먼저 구한 뒤 한 점을 대입해 y−y₁=m(x−x₁) 꼴로 씁니다. 이렇게 두 개의 식을 만들면, 남은 일은 연립방정식 하나뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직선 AC는 A(−3, 4)와 C(5, 0)을 지나므로 기울기가 (0−4)/(5−(−3))입니다. 직선 BD는 B(−4, 0)과 D(2, 6)을 지나므로 기울기가 (6−0)/(2−(−4))이고, 이쪽은 값이 깔끔하게 떨어집니다.
두 식을 연립할 때 분수가 부담스럽다면 직선 AC를 x+2y=5처럼 분모 없는 꼴로 정리해 두세요. 여기에 직선 BD의 식을 대입하면 일차방정식 한 줄로 x가 나오고, 그 x를 다시 대입해 y를 얻습니다. 마지막으로 구한 좌표가 (a, b)이므로 a+b까지 계산해야 답입니다.
정답 확인
정답 2 (교점 (−1, 3), a+b = 2)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A대각선 AC의 방정식 구하기
두 점 A(−3, 4), C(5, 0)을 지나는 직선의 기울기는 (0−4)/(5−(−3)) = −12입니다. 점 C(5, 0)을 대입하면 y−0 = −12(x−5), 즉 y = −12x + 52이고, 양변에 2를 곱해 정리하면 x+2y=5가 됩니다.
STEP B대각선 BD의 방정식 구하기
두 점 B(−4, 0), D(2, 6)을 지나는 직선의 기울기는 (6−0)/(2−(−4)) = 1입니다. 점 B(−4, 0)을 대입하면 y−0 = 1·(x+4), 즉 y = x+4입니다. 기울기가 1이라 식이 가장 단순하므로, 연립할 때는 이 식을 대입하는 쪽이 유리합니다.
STEP C연립하여 교점을 구하고 a+b 계산하기
x+2y=5에 y=x+4를 대입하면 x+2(x+4)=5, 즉 3x+8=5에서 x=−1이고, y=−1+4=3입니다. 따라서 두 대각선의 교점은 (−1, 3)이므로 a=−1, b=3이고, 구하는 값은 a+b=−1+3=2입니다.
1등급 다른 풀이 · 중점 하나로 끝내기
두 직선의 교점은 오직 하나뿐이라는 사실을 이용하면, 연립을 하지 않고도 답을 확정할 수 있습니다.
먼저 대각선 BD의 중점을 구해 봅니다. B(−4, 0), D(2, 6)의 중점은 ((−4+2)/2, (0+6)/2) = (−1, 3)입니다. 이 점을 STEP A에서 정리한 직선 AC의 식 x+2y=5에 대입하면 (−1)+2·3 = 5로 등식이 성립하므로, 점 (−1, 3)은 직선 AC 위에도 있습니다.
즉 (−1, 3)은 두 대각선 위에 동시에 놓인 점이고, 서로 평행하지 않은 두 직선의 교점은 유일하므로 이 점이 곧 구하는 교점입니다. 덤으로 대각선 AC가 대각선 BD를 이등분한다는 이 사각형의 성질까지 드러납니다. 실전에서는 연립으로 답을 구한 뒤 이 중점 관계를 검산용으로 쓰면 계산 실수를 거의 잡아낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 대각선은 AC와 BD입니다. 문자 순서만 보고 AB와 CD를 이었다가 엉뚱한 교점을 구하는 실수가 가장 많습니다. 사각형 ABCD의 꼭짓점은 둘레를 따라 붙은 이름임을 기억하세요.
- 기울기를 구할 때 분모와 분자의 순서를 맞추세요. (y₂−y₁)/(x₂−x₁)에서 한쪽만 순서를 바꾸면 부호가 통째로 뒤집힙니다.
- 분수 계수는 정수 계수로 바꿔 놓고 연립하세요. y=−x/2+5/2를 x+2y=5로 고쳐 두면 대입 후 계산이 한 줄로 끝납니다.
- 구한 교점은 반드시 두 식 모두에 대입해 검산하세요. (−1, 3)은 x+2y=5와 y=x+4를 동시에 만족합니다.
- 문제가 묻는 것은 교점의 좌표가 아니라 a+b입니다. (−1, 3)까지 구해 놓고 답란에 −1이나 3을 쓰는 마무리 실수를 조심하세요.
엄선된 풀이 영상
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