행복한 일등급문제
2021년 09월 고1 학력평가 21번
두 점 사이의 거리
이등변삼각형
경우 분류
출제의도
이 문항은 포물선과 직선의 두 교점을 미지수 k로 표현한 뒤, ‘삼각형 AOB가 이등변삼각형’이라는 조건을 세 변의 길이 관계로 옮기는 문제입니다. 교점 좌표를 구하는 앞부분은 (x−k)²=4 한 줄로 끝나므로, 실제 난이도는 전부 뒷부분에 몰려 있습니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 계산량이 아니라 분류의 완전성 때문입니다. 이등변삼각형은 ‘어느 두 변이 같은가’에 따라 세 가지 경우가 있고, 각 경우가 다시 두 개의 근을 내놓습니다. 한 경우만 처리하고 답을 세면 n이 틀리고, 근을 다 구해놓고도 최댓값을 잘못 고르면 M이 틀립니다. 빠짐없이 세고 정확히 고르는 두 가지 태도를 동시에 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 두 교점을 k로 나타내세요. (x−k)²−2=2에서 (x−k)²=4이므로 x=k−2 또는 x=k+2입니다. A의 x좌표가 더 작다는 단서까지 쓰면 A(k−2, 2), B(k+2, 2)로 확정됩니다.
이제 삼각형 AOB의 세 변 AB, OA, OB의 길이를 모두 k로 표현해 두세요. 여기까지 정리해 놓으면 ‘이등변’이라는 조건은 세 길이 중 두 개를 같다고 놓는 작업으로 바뀝니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AB는 k와 무관하게 항상 4입니다. 반면 OA=√(k²−4k+8), OB=√(k²+4k+8)로 k에 따라 변합니다. 이등변이 되는 경우는 OA=OB, OA=AB, OB=AB의 세 가지뿐이므로, 각각을 제곱해서 k에 대한 이차방정식으로 바꾸세요.
OA=OB는 일차방정식으로 내려가 근이 하나, 나머지 두 경우는 각각 이차방정식이라 근이 둘씩 나옵니다. 근을 모두 모은 뒤 서로 다른 값의 개수 n과 가장 큰 값 M을 각각 확인하는 것이 마지막 관문입니다. 2±2√3과 −2±2√3을 수직선 위에 대략 찍어보면 대소 비교가 한눈에 보입니다.
정답 확인
정답 ② n+M = 7+2√3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 점 A, B의 좌표를 k로 표현
(x−k)²−2=2에서 (x−k)²=4, 즉 x=k−2 또는 x=k+2입니다. 두 점의 y좌표는 모두 2이고 A의 x좌표가 더 작으므로 A(k−2, 2), B(k+2, 2)입니다. 따라서 AB=|(k+2)−(k−2)|=4로 k에 상관없이 일정합니다.
STEP B이등변이 되는 세 경우 분류
원점 O(0, 0)까지의 거리는 OA=√(k²−4k+8), OB=√(k²+4k+8)입니다. 세 변 중 어느 두 변이 같은지에 따라 다음 세 경우로 나뉩니다.
( i ) OA=OB — 양변을 제곱하면 k²−4k+8=k²+4k+8, 즉 8k=0이므로 k=0 (근 1개)
( ii ) OA=AB — k²−4k+8=16에서 k²−4k−8=0, 즉 k=2−2√3 또는 k=2+2√3 (근 2개)
( iii ) OB=AB — k²+4k+8=16에서 k²+4k−8=0, 즉 k=−2−2√3 또는 k=−2+2√3 (근 2개)
세 경우에서 얻은 k의 값은 0, 2−2√3, 2+2√3, −2−2√3, −2+2√3입니다.
STEP Cn+M의 값 계산
다섯 값이 서로 겹치지 않으므로 n=5입니다. 2√3≈3.46이므로 각 값은 대략 0, −1.46, 5.46, −5.46, 1.46이고 가장 큰 것은 2+2√3, 즉 M=2+2√3입니다. 따라서 n+M=5+(2+2√3)=7+2√3이 됩니다.
1등급 다른 풀이 · 원과 대칭으로 읽기
세 경우를 기하적으로 번역하면 계산 전에 답의 구조가 먼저 보입니다.
먼저 OA=OB는 ‘원점이 선분 AB에서 같은 거리에 있다’, 즉 원점이 AB의 수직이등분선 위에 있다는 뜻입니다. A와 B는 포물선의 축 x=k에 대해 대칭이므로 AB의 수직이등분선은 곧 축 x=k이고, 원점이 그 위에 있으려면 k=0일 수밖에 없습니다. 계산 없이 근이 하나임이 확정됩니다.
남은 두 경우는 OA=4 또는 OB=4이므로, ‘점 A(또는 B)가 원점을 중심으로 하는 반지름 4인 원 x²+y²=16 위에 있다’로 읽힙니다. y좌표가 2로 고정되어 있으니 x²=12, 즉 x=±2√3이 되고, A의 x좌표가 k−2이므로 k=2±2√3, B의 x좌표가 k+2이므로 k=−2±2√3이 곧바로 나옵니다. 이차방정식 두 개를 푸는 대신 원과 직선 y=2의 교점 하나로 네 개의 k를 한꺼번에 얻는 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- 이등변삼각형은 경우가 셋입니다. OA=OB만 보고 넘어가면 n=1로 끝나 오답이 됩니다. 밑변이 어느 변인지 정하지 않은 문제에서는 항상 세 경우를 모두 적어두고 시작하세요.
- 거리 조건은 루트를 남긴 채 다루지 말고 반드시 제곱해서 처리하세요. OA²=OB²로 두는 순간 k²항이 소거되어 일차방정식으로 내려갑니다.
- 근을 다 구한 뒤 중복 확인이 필요합니다. 문제가 묻는 것은 근의 총 개수가 아니라 ‘서로 다른 k의 개수’입니다. 이 문항에서는 다섯 값이 모두 달라 n=5이지만, 겹치는 유형도 자주 출제됩니다.
- 삼각형이 실제로 만들어지는지도 점검 대상입니다. 여기서는 A, B의 y좌표가 2로 원점과 절대 일직선이 되지 않아 모든 k가 유효하지만, 세 점이 한 직선 위에 놓이는 k는 항상 제외해야 합니다.
- M을 고를 때 부호에 주의하세요. 2+2√3과 −2+2√3을 혼동하면 답이 ④ 9+2√3 쪽으로 흘러갑니다. 근사값을 대략 찍어 대소를 눈으로 확인하는 습관이 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
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