TOUGH
내분점
넓이비와 길이비
경우 나누기
출제의도
이 문항도 출발점은 ‘높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다’입니다. 삼각형 OAP와 OBP는 꼭짓점 O에서 직선 AB까지의 거리를 높이로 공유하므로, 넓이가 2배라는 조건은 곧 AP : BP = 2 : 1로 바뀝니다.
TOUGH 스텝인 진짜 이유는 그다음입니다. AP : BP = 2 : 1을 만족하는 점 P는 선분 AB 안쪽에만 있는 것이 아닙니다. 점 B를 지나 바깥쪽으로 나간 자리에도 같은 비를 만족하는 점이 존재합니다. 경우를 하나만 세고 답을 적으면 반쪽짜리가 되는, 전형적인 누락 함정 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 삼각형 OAP와 OBP의 밑변을 각각 AP, BP로 잡아 보세요. 높이는 둘 다 점 O에서 직선 AB까지의 거리로 같습니다. 따라서 넓이의 비가 2 : 1이면 AP : BP = 2 : 1입니다.
이제 ‘직선 AB 위에서 A까지의 거리가 B까지의 거리의 2배인 점’을 그림 위에 직접 찍어 보세요. 몇 개가 나오는지가 이 문제의 핵심입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
가능한 위치는 두 곳입니다. 하나는 P가 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 경우, 다른 하나는 P가 B 바깥쪽에 있어서 점 B가 선분 AP의 중점이 되는 경우입니다. 두 번째 경우도 AP : BP = 2 : 1을 그대로 만족합니다.
첫 번째는 내분점 공식에 A(−5, 0), B(1, 3)을 넣으면 끝입니다. 두 번째는 P(a, b)로 두고 ‘선분 AP의 중점이 B’라는 식, 즉 두 좌표의 평균이 각각 1과 3이라는 식을 세우면 됩니다.
정답 확인
정답 ③ P(−1, 2) 또는 P(7, 6)
두 경우의 a + b는 각각 1과 13입니다.
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이 조건을 길이의 비로 번역
삼각형 OAP와 OBP의 높이는 점 O에서 선분 AB까지의 거리로 같으므로 넓이의 비가 곧 밑변의 비입니다. 삼각형 OAP의 넓이가 OBP의 2배이므로 AP : BP = 2 : 1이고, 이를 만족하는 P는 ‘선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점’과 ‘점 B가 선분 AP의 중점이 되는 점’ 두 가지입니다.
STEP B경우 (i) 내분점인 경우
A(−5, 0), B(1, 3)에 대하여 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점은 2×1+1×(−5)2+1, 2×3+1×02+1이므로 P(−1, 2)입니다.
STEP C경우 (ii) B가 선분 AP의 중점인 경우
P(a, b)라 하면 선분 AP의 중점은 −5+a2, b2입니다. 이것이 B(1, 3)과 같으므로 a = 7, b = 6, 즉 P(7, 6)입니다. 이때 AP = 2BP가 성립하므로 조건을 만족합니다.
1등급 다른 풀이 · 이동량으로 한 번에
내분점 공식을 외우지 않고도 처리할 수 있습니다. A(−5, 0)에서 B(1, 3)으로 가는 이동량은 x로 6, y로 3입니다. AP : BP = 2 : 1에서 P가 내분점이면 A에서 B 방향으로 전체의 23만큼 간 자리이므로, A에 (4, 2)를 더해 P(−1, 2)를 얻습니다.
바깥쪽 경우는 A에서 같은 방향으로 2배 간 자리입니다. A에 (12, 6)을 더하면 P(7, 6)이 나옵니다. 이동량을 몇 배 하느냐만 관리하면 되므로, 내분·외분 공식의 계수 순서를 헷갈릴 여지가 없습니다.
실수를 줄이는 전략
- 이 문제의 승부는 계산이 아니라 경우의 수입니다. ‘넓이가 2배’는 P의 위치를 하나로 고정하지 않습니다. 선분 안쪽과 B 바깥쪽, 두 자리를 반드시 함께 검토하세요.
- 내분점 공식에서 순서를 지키세요. 선분 AB를 2 : 1로 내분할 때 B의 좌표에 2를, A의 좌표에 1을 곱합니다. 반대로 쓰면 전혀 다른 점이 나옵니다.
- 바깥쪽 경우는 외분 공식을 억지로 떠올릴 필요가 없습니다. ‘점 B가 선분 AP의 중점’이라고 읽으면 중점 공식만으로 끝납니다.
- 구한 점은 넓이로 검산하세요. P(−1, 2)일 때 삼각형 OAP의 넓이는 5, OBP는 2.5로 정확히 2배입니다. P(7, 6)일 때도 15와 7.5로 2배가 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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