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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 도함수가 주어진 함수의 극값
0805
난이도 중
적분상수 결정
극댓값·극솟값
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문제를 읽자마자
출제의도
적분기호 안의 식이 곧 f′(x) — 극댓값을 단서로 적분상수 C를 거꾸로 찾아내라
f(x)가 부정적분 꼴로 주어졌으니 양변을 미분하는 순간 f′(x)가 손에 들어옵니다. 그 다음은 증감표로 어느 쪽이 극대이고 어느 쪽이 극소인지 확정하는 일이고, 마지막이 이 문제의 진짜 장치입니다. 극댓값 2/3이라는 조건 하나로 C를 결정한 뒤에야 극솟값을 구할 수 있습니다. C를 남겨 둔 채 f(3)을 계산하면 반드시 틀립니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 양변을 미분하면 무엇이 남나
f(x)=∫(x²−2x−3)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 f′(x)=x²−2x−3입니다.
먼저 인수분해부터 하세요. (x+1)(x−3) 꼴이 보이면 f′(x)=0의 두 근이 바로 나옵니다.
먼저 인수분해부터 하세요. (x+1)(x−3) 꼴이 보이면 f′(x)=0의 두 근이 바로 나옵니다.
힌트 2 — 어느 쪽이 극대인가
f′(x)는 x²의 계수가 양수인 이차함수입니다. 그래서 부호가 + → − → + 순서로 바뀝니다.
즉 작은 근에서 극대, 큰 근에서 극소입니다. x=−1에서 극대, x=3에서 극소. 증감표를 직접 한 번 그려서 확인하세요.
즉 작은 근에서 극대, 큰 근에서 극소입니다. x=−1에서 극대, x=3에서 극소. 증감표를 직접 한 번 그려서 확인하세요.
힌트 3 — C를 먼저 구하고 나서
f(x)=⅓x³−x²−3x+C입니다. 여기에 x=−1을 넣으면 −⅓−1+3+C, 즉 5/3+C이고 이것이 2/3이므로 C=−1.
C를 확정한 다음에 f(3)을 계산하세요. 순서를 바꾸면 답이 나오지 않습니다.
C를 확정한 다음에 f(3)을 계산하세요. 순서를 바꾸면 답이 나오지 않습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① −10
검산용 지름길 — 극댓값과 극솟값의 차
f′(x)=a(x−α)(x−β)일 때 (극댓값)−(극솟값)= a(β−α)³ ÷ 6 입니다.
여기서는 a=1, α=−1, β=3이므로 차이는 1×4³÷6=32/3. 따라서 극솟값은 2/3−32/3=−10. C를 구하지 않고도 답이 맞는지 30초 만에 확인할 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
적분상수 C를 빼먹고 계산한다
가장 많이 나오는 실수입니다. C 없이 f(3)=9−9−9=−9로 답하면 선택지에 없어서 다행이지만, 조건이 조금만 달라지면 그대로 오답이 됩니다. 부정적분에는 반드시 +C를 붙이고 시작하세요. -
극대와 극소를 반대로 잡는다
x=3이 극대라고 착각하면 C가 달라져 답이 통째로 틀립니다. f′(x)의 x² 계수가 양수면 작은 근이 극대, 큰 근이 극소입니다. 증감표를 그리는 데 20초면 됩니다. -
f(−1) 계산에서 부호가 꼬인다
f(−1)=−⅓−1+3+C입니다. −3x에 x=−1을 넣으면 +3이라는 점, 그리고 ⅓(−1)³=−⅓라는 점 두 군데가 부호 함정입니다. 결과는 5/3+C. -
극댓값 조건을 f′에 대입한다
2/3은 f(−1)의 값이지 f′(−1)의 값이 아닙니다. f′(−1)은 언제나 0입니다. “극댓값”은 y좌표라는 것을 잊지 마세요. -
극댓값을 답으로 적는다
문제가 묻는 것은 극솟값입니다. f(3)=9−9−9−1=−10. 마지막에 문제 문장을 한 번 더 읽고 무엇을 묻는지 확인하는 습관을 들이세요.
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