쎈미적분1 0804

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 12 부정적분과 극대·극소

0804
대표 문제
집중공략
그래프 해석
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쎈 미적분1 0804번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

그래프에서 f′(x)의 식을 복원하고, 부호로 극대·극소를 판정한 뒤 적분해서 f(x)를 세우라는 문제

유형 12의 대표 문제답게 세 가지 기술이 한 줄로 이어집니다. 첫째, 그래프에서 읽을 것은 x절편(0과 2)과 볼록 방향(위로 볼록 → 최고차항 계수 음수) 두 가지뿐이고, 여기서 f′(x)=ax(x−2), a<0이 나옵니다. 둘째, 부호표를 그려 x=0이 극소, x=2가 극대임을 확정합니다. 셋째, 적분한 뒤 극솟값 4와 극댓값 8을 각각 f(0), f(2)에 대응시켜 a와 C를 구합니다. 그래프에 눈금이 두 개(0과 2)뿐이라는 것 자체가 “계수 a는 미지수로 두라”는 신호입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 그래프에서 읽을 것은 두 가지
y=f′(x)는 이차함수이고 그래프가 x축과 x=0, x=2에서 만납니다. 그리고 위로 볼록합니다.
따라서 f′(x)=ax(x−2), 단 a<0. 계수를 1로 놓지 마세요 — a가 미지수여야 극값 조건을 맞출 수 있습니다.
힌트 2 — 부호표로 극대·극소 자리 확정
a<0이므로 f′(x)의 부호는 x<0에서 −, 0<x<2에서 +, x>2에서 −입니다.
부호가 −에서 +로 바뀌는 x=0에서 극소, +에서 −로 바뀌는 x=2에서 극대.
그래프가 위로 볼록인데 극소가 왼쪽에 온다는 점을 헷갈리지 마세요.
힌트 3 — 적분하고 두 값을 대응시키기
f(x)=∫(ax²−2ax)dx = (a/3)x³−ax²+C.
극솟값이 4이므로 f(0)=C=4. 극댓값이 8이므로 f(2)=(8a/3)−4a+C = −(4/3)a+C = 8.
C=4를 넣으면 −(4/3)a=4, 즉 a=−3. a<0 조건과도 맞는지 마지막에 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 f(x) = −x³ + 3x² + 4

쎈 미적분1 0804번 해설 1
쎈 미적분1 0804번 해설 2

검산용 한 줄 — 미분해서 그래프와 맞춰보기

f(x)=−x³+3x²+4를 미분하면 f′(x)=−3x²+6x=−3x(x−2). x절편이 0과 2이고 최고차항 계수가 음수 — 문제의 그래프와 정확히 일치합니다. 값도 f(0)=4(극소), f(2)=−8+12+4=8(극대)로 맞습니다. 적분 문제는 미분해서 되돌려 보는 검산이 가장 빠릅니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f′(x)=x(x−2)로 계수 없이 놓는다
    그래프가 알려주는 것은 x절편과 볼록 방향뿐, 세로 크기가 아닙니다. 계수를 1로 고정하면 극댓값 8·극솟값 4를 맞출 자유도가 사라져 조건이 모순됩니다. 반드시 ax(x−2)로 두세요.
  • a<0 조건을 놓쳐 극대·극소를 뒤집는다
    a>0이라면 x=0이 극대, x=2가 극소가 됩니다. 그래프가 위로 볼록하다는 것을 보고 a<0을 먼저 적어 두어야 x=0 극소·x=2 극대라는 정반대 결론이 나옵니다.
  • 극댓값 8과 극솟값 4를 바꿔 대입한다
    f(0)에 8을, f(2)에 4를 넣으면 a=3이 나와 a<0 조건과 충돌합니다. 이 충돌이 보이면 되돌아가라는 신호입니다. 부호표에서 “0은 극소, 2는 극대”를 확정한 뒤에 값을 대입하세요.
  • f(2) 계산에서 −(4/3)a를 놓친다
    f(2)=(a/3)·8−a·4+C = 8a/3−12a/3+C = −(4/3)a+C입니다. 통분 없이 8a/3−4a를 4a/3으로 쓰면 a=−9 같은 값이 나옵니다. 분모 3으로 맞춘 뒤 빼세요.
  • 적분상수 C를 빠뜨리거나 f′(x)로 답한다
    구하라는 것은 f(x)입니다. C=4가 곧 극솟값이라는 점이 이 문제의 핵심 고리이므로, C를 생략하면 극값 조건 자체를 쓸 수 없습니다. 마지막에 a=−3, C=4를 넣어 −x³+3x²+4까지 정리해 적으세요.

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