쎈미적분1 0803

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 11 도함수의 정의를 이용한 부정적분

0803
난이도 중
서술형
도함수의 정의
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쎈 미적분1 0803번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

f(t+h)−f(t)가 통째로 주어졌다 — 도함수의 정의식에 그대로 얹으라는 뜻

앞 문항이 Δy·Δx로 물었다면 이 문항은 h로 묻습니다. 형태만 다를 뿐 하는 일은 같습니다. h로 나누고 h→0을 보내면 h²항은 사라지고 f′(x)=mx만 남습니다. 그다음은 적분해서 f(x)=(m/2)x²+C, 미지수 m과 C를 f(1)=5, f(3)=21로 연립. 서술형이므로 ① 도함수 구하기 40%, ② 부정적분 30%, ③ f(x) 확정 30%로 점수가 세 덩어리로 쪼개져 있습니다. 답 한 줄만 쓰면 30점짜리 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — t를 x로 바꿔 정의식에 넣기
주어진 식은 “임의의 두 실수 t, h에 대하여” 성립합니다. 즉 t 자리에 x를 넣어도 됩니다.
f′(x)=limh→0 {f(x+h)−f(x)}/h인데, 중괄호 안이 바로 주어진 mxh+2h²입니다.
힌트 2 — h로 나누면 무엇이 사라지나
(mxh+2h²)/h = mx+2h. 여기서 h→0이면 2h는 0으로 사라지고 f′(x)=mx만 남습니다.
h²항이 끝까지 남는다고 생각했다면 나눗셈을 한 번 더 확인하세요. 이 한 줄이 채점 기준 ❶(40%)입니다.
힌트 3 — 미지수 두 개, 조건 두 개
f(x)=∫mx dx = (m/2)x²+C. 미지수는 m과 C 두 개입니다.
f(1)=5 → m/2+C=5, f(3)=21 → (9/2)m+C=21. 두 식을 빼면 4m=16.
서술형이니 ① f′(x)=mx ② (m/2)x²+C ③ 연립 결과, 이 세 줄이 답안지에 모두 남아 있는지 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 f(x) = 2x² + 3

쎈 미적분1 0803번 해설

채점 기준

❶ f′(x)를 구할 수 있다 40%
❷ f′(x)의 부정적분을 구할 수 있다 30%
❸ f(x)를 구할 수 있다 30%
검산용 지름길 — 답을 원식에 되돌려 넣기

f(x)=2x²+3이라 두고 f(t+h)−f(t)를 직접 계산하면 2(t+h)²−2t² = 4th+2h². 문제의 mth+2h²와 비교하면 m=4가 곧바로 확인되고, f(1)=5·f(3)=21도 그대로 맞습니다. 다만 서술형 답안에는 이 확인만 적으면 ❶❷의 과정 점수를 받기 어려우니, 정식 계산으로 쓰고 이 방법은 검산에만 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 답만 적고 과정을 생략한다
    서술형입니다. f(x)=2x²+3만 쓰면 30%입니다. f′(x)=mx(40%)와 (m/2)x²+C(30%)를 각각 한 줄씩 남겨야 나머지 70%가 붙습니다.
  • 2h²가 남는다고 생각한다
    (mxh+2h²)/h = mx+2h이고, h→0이면 2h는 0입니다. 2h²를 그대로 끌고 가면 f′(x)=mx+2h²라는 식이 되어 적분 자체가 성립하지 않습니다.
  • f′(x)를 f(x)로 착각한다
    극한 계산으로 얻은 mx는 도함수입니다. 여기에 f(1)=5를 바로 대입하면 m=5라는 오답이 나옵니다. 반드시 적분을 한 번 거친 뒤에 조건을 씁니다.
  • 적분상수 C를 빠뜨린다
    C가 없으면 f(1)=5와 f(3)=21 두 조건이 서로 모순됩니다(m=10과 m=14가 동시에 나옵니다). 조건이 두 개라는 것은 미지수도 두 개라는 신호입니다.
  • 연립에서 분수를 급하게 지운다
    m/2+C=5, (9/2)m+C=21에서 아래 식에서 위 식을 빼면 4m=16, m=4입니다. 분모 2를 먼저 없애려다 (9/2)m을 9m으로 쓰는 실수가 잦습니다. 뺄셈부터 하는 편이 안전합니다.

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