쎈 미적분Ⅰ 전체 문항 해설 모아보기 ›
문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트
쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 11 도함수의 정의를 이용한 부정적분
0802
난이도 중
증분 Δy·Δx
부정적분
풀이영상 있음
난이도 중
증분 Δy·Δx
부정적분
풀이영상 있음
먼저 보기
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
함수가 아니라 증분 관계식이 주어졌다 — 미분계수의 정의를 거꾸로 읽고, 적분으로 f(x)를 복원하라
이 문제는 f(x)를 알려주지 않습니다. 대신 Δy와 Δx의 관계식을 던져 줍니다. 여기서 할 일은 딱 두 단계입니다. 첫째, 양변을 Δx로 나누고 Δx→0을 보내 f′(x)를 뽑는다. 둘째, 그 f′(x)를 적분해 f(x)를 되살린다. 그러면 미지수가 a와 적분상수 C 두 개 남고, 마침 조건도 f(0)=0, f(1)=0으로 두 개입니다. 조건 개수가 미지수 개수와 맞아떨어진다는 것을 읽어내는 순간 길이 열립니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — Δx로 나눠라
Δy가 통째로 주어졌으니 양변을 Δx로 나누는 것이 첫 수입니다.
Δy/Δx = ax+3−3Δx. 여기서 멈추면 안 됩니다. Δx→0을 보내야 f′(x)가 됩니다. 사라지는 항은 무엇인가요?
Δy/Δx = ax+3−3Δx. 여기서 멈추면 안 됩니다. Δx→0을 보내야 f′(x)가 됩니다. 사라지는 항은 무엇인가요?
힌트 2 — 도함수를 얻었으면 적분
f′(x)=ax+3입니다. f(x)를 알고 싶으니 부정적분을 하세요.
f(x)=∫(ax+3)dx = (a/2)x²+3x+C. a는 상수이므로 x 앞으로 그대로 따라옵니다. 그리고 적분상수 C를 절대 빠뜨리지 마세요 — 이것이 두 번째 미지수입니다.
f(x)=∫(ax+3)dx = (a/2)x²+3x+C. a는 상수이므로 x 앞으로 그대로 따라옵니다. 그리고 적분상수 C를 절대 빠뜨리지 마세요 — 이것이 두 번째 미지수입니다.
힌트 3 — 조건 두 개를 순서대로
f(0)=0을 먼저 쓰면 C=0이 바로 나옵니다(상수항만 남기 때문).
그다음 f(1)=0에서 a/2+3=0, 즉 a=−6. 따라서 f(x)=−3x²+3x.
마지막으로 묻는 것은 f(−1)입니다. (−1)²=1임에 주의하며 대입하세요.
그다음 f(1)=0에서 a/2+3=0, 즉 a=−6. 따라서 f(x)=−3x²+3x.
마지막으로 묻는 것은 f(−1)입니다. (−1)²=1임에 주의하며 대입하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① −6
검산용 한 줄 — 완성된 f(x)로 되돌아가기
f(x)=−3x²+3x가 맞는지 확인하려면 원래 조건으로 돌아가면 됩니다. Δy=f(x+Δx)−f(x)를 직접 전개하면 (−6x+3)Δx−3(Δx)². 문제의 (ax+3)Δx−3(Δx)²과 비교하면 a=−6이 그대로 확인됩니다. 답을 구한 뒤 30초면 끝나는 검산입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
Δy/Δx를 그대로 f′(x)로 쓴다
Δy/Δx = ax+3−3Δx는 아직 평균변화율입니다. Δx→0 극한을 취해야 −3Δx가 사라지고 f′(x)=ax+3이 됩니다. −3Δx를 달고 적분하면 그 아래가 전부 무너집니다. -
적분상수 C를 빠뜨린다
C가 없으면 f(0)=0이라는 조건을 쓸 자리가 사라집니다. 조건이 두 개 주어졌다는 것 자체가 “미지수도 두 개”라는 신호입니다. 부정적분에는 반드시 +C. -
∫ax dx를 ax²로 쓴다
a는 상수이고 x가 변수이므로 ∫ax dx = a·(x²/2) = (a/2)x²입니다. 계수 1/2을 잃으면 a/2+3=0 대신 a+3=0이 되어 a=−3이라는 오답이 나옵니다. -
a=−6을 대입할 때 부호를 흘린다
(a/2)x² = (−6/2)x² = −3x²입니다. 뒤의 3x는 a와 무관하게 그대로 남습니다. f(x)=−3x²+3x — 두 항의 부호가 다르다는 점을 눈으로 한 번 확인하세요. -
f(−1)에서 (−1)²을 −1로 계산한다
f(−1)=−3(−1)²+3(−1)=−3−3=−6입니다. 제곱을 −1로 두면 3−3=0이라는 엉뚱한 값이 나오고, 선택지에 0이 없어 다시 처음부터 풀게 됩니다.