쎈미적분1 0801

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 11 부정적분과 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기

0801
대표 문제
함수방정식
도함수의 정의
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쎈 미적분1 0801번 문제

유형 11 · 핵심 도구

f′(x) = limh→0 {f(x+h) − f(x)} / h

문제를 읽자마자

출제의도

주어진 관계식을 도함수의 정의에 그대로 밀어 넣는 유형의 대표 문제

f(x+y)=f(x)+f(y)−xy 같은 함수방정식은 f의 식을 직접 알려 주지 않습니다. 유일한 통로가 도함수의 정의식입니다. 분자 f(x+h)에 관계식을 대입하면 f(x)가 소거되고 f(h)/h라는 덩어리 하나만 남는데, 이 덩어리의 값을 f′(1)=3에서 미리 확보해 두는 것이 이 유형의 전부입니다. 그다음은 부정적분과 f(0)=0으로 상수를 맞추는 정해진 절차입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 가장 먼저 0을 대입
함수방정식은 예외 없이 x=0, y=0 대입으로 시작합니다.
f(0)=f(0)+f(0)−0에서 f(0)=0. 나중에 적분상수를 결정할 때 쓰이니 반드시 확보해 두세요.
힌트 2 — f′(1)=3에서 덩어리 하나 뽑기
f′(1)의 정의식에 f(1+h)=f(1)+f(h)−h를 대입하면 f(1)이 서로 지워집니다.
남는 것은 lim {f(h)/h} − 1 = 3, 즉 lim f(h)/h = 4. 이 값이 이 문제의 열쇠입니다.
힌트 3 — 같은 조작을 x에서 반복
이번엔 f′(x)의 정의식에 f(x+h)=f(x)+f(h)−xh를 대입합니다. f(x)가 지워지고 f′(x) = lim f(h)/h − x = 4 − x.
적분하면 f(x)=−½x²+4x+C이고, C는 힌트 1의 f(0)=0으로 결정합니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 f(−2) = −10

쎈 미적분1 0801번 해설

정리해 두면 편한 흐름 — 이 유형은 순서가 고정이다

① x=y=0 대입으로 f(0) 구하기 → ② 주어진 미분계수(여기서는 f′(1)=3)로 lim f(h)/h 값 확보 → ③ 도함수 정의에 관계식 대입해 f′(x) 구하기 → ④ 부정적분 후 f(0)으로 C 결정.
참고로 ②에서 구한 lim f(h)/h = 4는 f(0)=0이므로 곧 f′(0)의 값이기도 합니다. f′(x)=4−x에 x=0을 넣어 4가 나오는지로 검산하세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(0)을 구하지 않고 넘어간다
    적분상수 C를 결정할 조건이 f(0)=0뿐입니다. 이걸 빼면 f(x)=−½x²+4x+C에서 멈춥니다. 함수방정식 문제는 무조건 0 대입부터 시작하세요.
  • 관계식 대입에서 −xh를 −h나 −x로 쓴다
    f(x+h)는 f(x)+f(y)−xy에 y=h를 넣은 것이므로 −xh입니다. h로 나누면 −x가 남습니다. f′(1)을 구할 때는 x=1이라 −1이 되는 것이고, 두 경우를 섞으면 답이 어긋납니다.
  • lim f(h)/h를 3으로 오해한다
    3은 f′(1)의 값입니다. lim f(h)/h − 1 = 3이므로 이 덩어리의 값은 4입니다. 여기서 1을 안 넘기면 f′(x)=3−x가 되어 f(−2)=−9.5가 나옵니다.
  • f(x)를 무작정 이차함수로 가정한다
    답이 이차식으로 나오긴 하지만, 처음부터 f(x)=ax²+bx+c로 놓고 계수를 맞추는 방식은 이 유형의 의도가 아닙니다. 대표문제인 만큼 도함수의 정의로 유도하는 과정을 손에 익혀 두세요.
  • 마지막 대입에서 −½x²의 부호를 놓친다
    f(−2)=−½·(−2)²+4·(−2)입니다. (−2)²=4이므로 앞은 −2, 뒤는 −8, 합쳐서 −10. −2를 그대로 제곱하지 않고 −4로 처리하면 −6이 나옵니다.

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