쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 08 절댓값 기호를 포함한 함수의 부정적분
0790
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함수의 연속
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문제를 읽자마자
출제의도
절댓값을 벗겨 두 구간으로 나눈 뒤, 적분상수 두 개를 서로 다른 조건으로 결정하라는 문제
도함수에 절댓값이 붙으면 구간이 갈라지고, 구간이 갈라지면 적분상수도 두 개가 됩니다. 이때 상수를 정해 주는 조건은 딱 두 줄입니다. 하나는 문제에 적힌 f(0)=−1, 다른 하나는 문제 첫머리의 “연속함수”라는 단어입니다. 이 단어를 조건으로 읽어냈는지가 이 문항의 갈림길입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 절댓값부터 벗기기
x≥0이면 |x|=x이므로 f′(x)=2x−x=x.
x<0이면 |x|=−x이므로 f′(x)=2x−(−x)=3x.
여기서 부호를 한 번 놓치면 뒤가 전부 무너집니다. 두 줄을 중괄호로 묶어 적어 두세요.
x<0이면 |x|=−x이므로 f′(x)=2x−(−x)=3x.
여기서 부호를 한 번 놓치면 뒤가 전부 무너집니다. 두 줄을 중괄호로 묶어 적어 두세요.
힌트 2 — 적분상수는 구간마다 따로
구간이 둘이면 부정적분도 둘, 상수도 둘입니다.
f(x)=½x²+C₁ (x≥0), f(x)=³⁄₂x²+C₂ (x<0).
주어진 f(0)=−1은 x≥0 쪽 식에만 대입됩니다. 그래서 C₁만 먼저 정해집니다.
f(x)=½x²+C₁ (x≥0), f(x)=³⁄₂x²+C₂ (x<0).
주어진 f(0)=−1은 x≥0 쪽 식에만 대입됩니다. 그래서 C₁만 먼저 정해집니다.
힌트 3 — 남은 C₂를 정하는 단어
C₂를 정해 줄 조건은 문제 첫 줄의 “연속함수”입니다.
x=0에서 좌극한과 함숫값이 같아야 하므로 lim(x→0−)(³⁄₂x²+C₂)=f(0), 즉 C₂=−1.
이제 f(−4)는 x<0 쪽 식, f(2)는 x≥0 쪽 식에 대입하면 끝입니다.
x=0에서 좌극한과 함숫값이 같아야 하므로 lim(x→0−)(³⁄₂x²+C₂)=f(0), 즉 C₂=−1.
이제 f(−4)는 x<0 쪽 식, f(2)는 x≥0 쪽 식에 대입하면 끝입니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ④ 23
왜 C₁과 C₂가 같아졌을까 — 우연이 아닙니다
두 조각의 x² 항은 x→0일 때 모두 0으로 사라집니다. 그래서 x=0에서 이어 붙이는 순간 남는 것은 상수뿐이고, 결국 C₁=C₂가 됩니다.
다만 이건 이 문제의 f′(x)가 x=0에서 값 0으로 만나기 때문에 생긴 결과입니다. 다른 문제에서 상수항이 살아 있으면 두 상수는 달라지니, 항상 연속 조건을 직접 써서 확인하세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x<0에서 2x−(−x)를 x로 계산한다
부호를 두 번 처리하는 자리입니다. 2x+x=3x입니다. 여기서 x로 쓰면 f(−4)가 8−1=7이 되어 답이 통째로 바뀝니다. -
적분상수를 하나만 쓴다
구간이 나뉘면 상수도 나뉩니다. C 하나로 묶어 버리면 “연속이므로 C₂=−1″이라는 이 문제의 핵심 논리가 사라집니다. -
C₁=C₂를 근거 없이 당연하게 둔다
결과는 맞지만 과정이 비어 있습니다. lim(x→0−)f(x)=f(0)이라는 연속 조건을 한 줄 적고 나서 C₂=−1을 쓰세요. -
f(−4)를 x≥0 쪽 식에 대입한다
−4는 음수이므로 ³⁄₂x²−1 쪽입니다. ³⁄₂×16−1=24−1=23. ½×16−1=7로 쓰면 ①·②·③ 어디에도 없는 값이 나와 오히려 다행입니다. -
f(−4)f(2)를 합으로 읽는다
곱입니다. f(2)=½×4−1=1이므로 23×1=23. f(2)가 1이라 합(24)과 곱(23)이 나란히 선택지에 있을 만큼 가깝습니다. 식 기호를 다시 확인하세요.