쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 08 도함수의 그래프와 부정적분
0791
난이도 중
서술형
그래프 읽기
함수의 연속
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문제를 읽자마자
출제의도
그래프를 식으로 옮기는 것이 첫 관문 — 나머지는 앞 문제와 똑같은 절차입니다
0790과 구조가 같습니다. 도함수가 구간별로 주어지고, 적분상수 두 개를 f(0)과 연속 조건으로 각각 결정합니다. 다른 점은 도함수가 식이 아니라 그래프로 주어졌다는 것뿐입니다. 서술형이라 채점 기준이 네 덩어리인데, 배점이 가장 큰 40%가 C₁·C₂를 구하는 자리에 걸려 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그래프를 두 줄의 식으로
x<2 구간은 높이가 2인 가로선이므로 f′(x)=2.
x≥2 구간은 점 (2, 2)와 (4, 0)을 지나는 직선입니다. 기울기는 (0−2)/(4−2)=−1이므로 f′(x)=−x+4.
x절편 4를 반드시 확인하고 식을 확정하세요.
x≥2 구간은 점 (2, 2)와 (4, 0)을 지나는 직선입니다. 기울기는 (0−2)/(4−2)=−1이므로 f′(x)=−x+4.
x절편 4를 반드시 확인하고 식을 확정하세요.
힌트 2 — 원점을 지난다는 조건이 가리키는 쪽
f(x)=−½x²+4x+C₁ (x≥2), f(x)=2x+C₂ (x<2).
“원점을 지난다”는 f(0)=0인데, 0은 x<2 구간입니다. 그러니 이 조건으로 정해지는 것은 C₂ 하나뿐, 값은 0입니다.
C₁은 아직 미지수입니다.
“원점을 지난다”는 f(0)=0인데, 0은 x<2 구간입니다. 그러니 이 조건으로 정해지는 것은 C₂ 하나뿐, 값은 0입니다.
C₁은 아직 미지수입니다.
힌트 3 — 이어 붙이는 지점은 x=2
f(x)가 연속이므로 x=2에서 좌극한과 함숫값이 같습니다.
lim(x→2−)2x=4, f(2)=−2+8+C₁=6+C₁. 따라서 C₁=−2.
f(3)은 3≥2이므로 −½x²+4x−2에 대입합니다. 서술형이니 ❶ f′(x) ❷ 부정적분 ❸ C₁·C₂ ❹ f(3), 네 줄이 답안지에 모두 남아야 합니다.
lim(x→2−)2x=4, f(2)=−2+8+C₁=6+C₁. 따라서 C₁=−2.
f(3)은 3≥2이므로 −½x²+4x−2에 대입합니다. 서술형이니 ❶ f′(x) ❷ 부정적분 ❸ C₁·C₂ ❹ f(3), 네 줄이 답안지에 모두 남아야 합니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 f(3) = 11/2
채점 기준
| ❶ f′(x)를 구할 수 있다 | 20% |
| ❷ f′(x)의 부정적분을 구할 수 있다 | 20% |
| ❸ C₁, C₂의 값을 구할 수 있다 | 40% |
| ❹ f(3)의 값을 구할 수 있다 | 20% |
검산용 지름길 — 그래프 아래 넓이로 확인하기
f(3)=f(0)+(0부터 3까지 f′의 그래프가 x축과 이루는 넓이)입니다.
0~2는 가로 2, 세로 2인 직사각형이라 4. 2~3은 높이가 2에서 1로 줄어드는 사다리꼴이라 (2+1)×1÷2=³⁄₂. 합하면 4+³⁄₂=11/2로 답이 맞습니다.
다만 서술형 답안에 이 방법만 적으면 ❶❷❸의 과정 점수를 받기 어렵습니다. 정식 풀이로 쓰고 이 방법은 검산에만 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
기울어진 부분의 식을 −x+2로 쓴다
기울기 −1은 맞게 봤는데 y절편을 잘못 잡는 경우입니다. 점 (4, 0)을 대입해 확인하세요. −4+4=0이 되어야 하므로 −x+4입니다. -
f(0)=0을 x≥2 쪽 식에 대입한다
0은 x<2 구간입니다. 2x+C₂에 넣어야 C₂=0이 나옵니다. −½x²+4x+C₁에 넣으면 C₁=0이라는 틀린 값이 나오고, f(3)=15/2가 됩니다. -
연속 조건을 빠뜨리고 C₁을 못 구한 채 넘어간다
배점 40%가 걸린 자리입니다. x=2에서 두 조각이 만나야 한다는 한 줄, lim(x→2−)2x=f(2)를 반드시 쓰고 6+C₁=4를 세우세요. -
f(3)에서 −½×9를 −9로 계산한다
−½×9=−⁹⁄₂입니다. −⁹⁄₂+12−2=−⁴·⁵+10=¹¹⁄₂. 분수 계산을 통분해서 한 번에 쓰면 부호 실수가 줄어듭니다. -
답만 적고 과정을 생략한다
서술형입니다. ¹¹⁄₂만 쓰면 20%입니다. f′(x) 두 줄, 부정적분 두 줄, C₁·C₂ 결정 두 줄을 각각 남겨야 나머지 80%가 붙습니다.