쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 09 부정적분과 접선의 기울기
0792
대표 문제
개념 07-3, 4
접선의 기울기
풀이영상 있음
대표 문제
개념 07-3, 4
접선의 기울기
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문제를 읽자마자
출제의도
“접선의 기울기”라는 말을 f′(x)로 번역할 수 있는지 묻는 유형의 대표 문제
곡선 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기는 곧 f′(x)입니다. 그러니 기울기가 주어졌다는 말은 도함수가 주어졌다는 말이고, 원래 함수는 그것을 적분해서 찾습니다. 지나는 점 하나는 적분상수 C를 정하기 위해 붙어 있는 조건입니다. 이 유형은 계산보다 번역이 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 문장을 기호로 바꾸기
“점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기가 x²−1″이라는 문장은 f′(x)=x²−1 한 줄과 같은 뜻입니다.
여기까지 오면 문제는 “도함수를 알 때 함수 구하기”로 바뀝니다.
여기까지 오면 문제는 “도함수를 알 때 함수 구하기”로 바뀝니다.
힌트 2 — 적분하고, C를 잊지 않기
f(x)=∫(x²−1)dx=⅓x³−x+C.
−1을 적분한 −x를 빠뜨리지 마세요. 그리고 C는 지금 반드시 살려 두어야 합니다. 다음 힌트에서 쓸 자리가 있습니다.
−1을 적분한 −x를 빠뜨리지 마세요. 그리고 C는 지금 반드시 살려 두어야 합니다. 다음 힌트에서 쓸 자리가 있습니다.
힌트 3 — 지나는 점은 C를 위한 조건
곡선이 점 (0, 1)을 지나므로 f(0)=1. ⅓·0−0+C=C이므로 C=1.
따라서 f(x)=⅓x³−x+1이고, f(3)에 대입할 때 ⅓×27=9임을 확인하세요.
따라서 f(x)=⅓x³−x+1이고, f(3)에 대입할 때 ⅓×27=9임을 확인하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 f(3) = 7
이 유형의 문장 사전 — 이 표현이 나오면 모두 f′(x)입니다
“접선의 기울기”, “순간변화율”, “속도”(위치의 도함수), “곡선 위의 점에서의 기울기”는 문제마다 옷만 바꿔 입은 f′(x)입니다.
반대로 “지나는 점”, “f(0)의 값”, “원점을 지난다”는 전부 C를 정하기 위한 조건입니다. 문제를 읽자마자 이 두 덩어리로 분류하면 유형 09는 손이 먼저 움직입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x²−1을 f(x)로 착각해 그대로 대입한다
주어진 것은 기울기, 즉 f′(x)입니다. f(3)=9−1=8로 답하는 실수가 가장 많습니다. 적분을 한 번 거쳐야 f(x)가 됩니다. -
적분상수 C를 빠뜨린다
C가 없으면 (0, 1)을 지난다는 조건을 쓸 자리가 사라집니다. f(3)=9−3=6이 되어 1만큼 어긋납니다. 부정적분에는 항상 +C. -
점 (0, 1)을 f′(0)=1로 쓴다
이 점은 곡선 y=f(x) 위의 점이므로 f(0)=1입니다. f′(0)=−1이라 조건과 맞지도 않습니다. 기울기 조건과 통과점 조건을 구분하세요. -
−1의 적분을 빠뜨린다
∫(x²−1)dx에서 −1의 부정적분은 −x입니다. 상수항이라고 사라지지 않습니다. 이걸 놓치면 f(3)=9+1=10이 됩니다. -
⅓×27을 9가 아닌 다른 값으로 계산한다
⅓×3³=⅓×27=9입니다. 분수 계수는 대입 전에 따로 정리해 두면 안전합니다. 9−3+1=7.