쎈미적분1 0784

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 07 함수와 부정적분 사이의 관계식

0784
대표문제
부정적분과 미분의 관계
곱의 미분법
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쎈 미적분1 0784번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

적분식이 주어졌는데 미분부터 하라는 문제 — 유형 07의 출발점입니다

F(x)와 f(x)가 섞인 등식이 나오면 순서는 언제나 똑같습니다. ① 양변을 미분해서 f′(x)를 뽑고 ② 그 f′(x)를 적분해서 f(x)를 만든 뒤 ③ 주어진 함숫값으로 적분상수 C를 확정합니다. 이 문제는 그 3단계가 가장 깔끔하게 드러난 대표문제라, 여기서 손에 익혀 두면 뒤의 0785·0786이 같은 골격으로 풀립니다. 실제 계산의 관문은 우변 xf(x)를 곱의 미분법으로 처리하는 한 줄입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 어느 쪽으로 갈지부터 정하기
조건에 d/dx F(x) = f(x)가 주어져 있습니다. 즉 F를 미분하면 f입니다.
그러니 주어진 등식 F(x)=xf(x)−6x⁴+6x³의 양변을 x에 대하여 미분하면 좌변은 곧바로 f(x)가 됩니다. F를 적분하려 들면 길을 잃습니다.
힌트 2 — 우변에서 걸리는 단 한 곳
xf(x)는 x와 f(x)의 곱이므로 곱의 미분법이 필요합니다. (xf(x))′ = f(x) + xf′(x).
−6x⁴+6x³의 미분은 −24x³+18x². 정리하면 f(x) = f(x) + xf′(x) − 24x³ + 18x²이고, 양변의 f(x)가 사라집니다. 남는 식은 무엇인가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
xf′(x) = 24x³ − 18x²의 양변을 x로 나누면 f′(x) = 24x² − 18x.
이제 방향을 반대로 돌려 적분합니다. f(x) = ∫(24x²−18x)dx = 8x³ − 9x² + C.
적분상수 C를 그냥 두고 끝내지 마세요. f(1)=0이라는 조건이 남아 있습니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 f(x) = 8x³ − 9x² + 1

쎈 미적분1 0784번 해설

검산 — 구한 f(x)를 원래 식에 되돌려 넣기

f(x)=8x³−9x²+1이면 xf(x)−6x⁴+6x³ = 8x⁴−9x³+x−6x⁴+6x³ = 2x⁴−3x³+x.
이것을 미분하면 8x³−9x²+1로 f(x)와 정확히 일치합니다. F(x)를 직접 구하지 않아도 되는 문제지만, 이 한 줄이면 계수 실수를 30초 만에 잡아낼 수 있습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 적분식만 보고 양변을 적분한다
    조건이 F′(x)=f(x)이므로 미지의 f를 끌어내려면 미분이 먼저입니다. 적분으로 시작하면 새로운 미지 함수가 하나 더 늘어날 뿐입니다.
  • xf(x)를 미분할 때 곱의 미분법을 빠뜨린다
    (xf(x))′을 xf′(x)로만 쓰면 f(x) 항이 사라지지 않아 식이 꼬입니다. f(x)+xf′(x) 두 항을 반드시 함께 쓰세요. 이 유형에서 가장 많이 나오는 실수입니다.
  • −6x⁴+6x³의 미분 계수를 틀린다
    −24x³+18x²입니다. 부호를 그대로 끌고 가야 하고, 6x³의 미분은 18x²(6×3)입니다. 여기서 한 글자만 틀려도 f′(x) 이후가 전부 어긋납니다.
  • 양변을 x로 나눌 때 근거를 안 남긴다
    xf′(x)=24x³−18x²의 우변은 x로 묶이는 다항식이므로 나눗셈이 성립합니다. 서술형이라면 “양변이 다항식이므로”라는 한 줄을 남겨 두면 안전합니다.
  • 적분상수 C를 잊고 f(x)=8x³−9x²로 끝낸다
    부정적분에는 항상 C가 붙습니다. f(1)=0에서 8−9+C=0, 즉 C=1. 이 조건을 쓰지 않았다면 반드시 무언가를 빠뜨린 것입니다.

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