쎈미적분1 0783

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 곱의 미분법과 부정적분

0783
난이도 상
부정적분
곱의 미분법
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쎈 미적분1 0783번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

주어진 두 식을 “무엇을 미분한 것인가”로 되읽는 문제

f′−g′는 낯설지 않은데, f′g+fg′를 보고 멈추면 이 문제는 풀리지 않습니다. 이 덩어리는 곱의 미분법 {f(x)g(x)}′ 그 자체입니다. 즉 두 조건은 각각 f−g와 fg의 도함수를 준 것이고, 양변을 적분하면 f−g와 fg를 알 수 있습니다. 여기서부터는 부정적분 문제가 아니라 합과 곱을 알 때 두 함수를 찾는 대수 문제로 바뀝니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 두 번째 식의 정체
f′(x)g(x) + f(x)g′(x)는 {f(x)g(x)}′입니다. 곱의 미분법을 거꾸로 읽는 것이 이 문제의 열쇠입니다.
마찬가지로 f′(x)−g′(x)는 {f(x)−g(x)}′. 두 식 모두 “도함수”를 준 것입니다.
힌트 2 — 양변을 적분하되 상수는 따로
f−g = ∫(2x−4)dx = x²−4x+C₁
fg = ∫(3x²−2x−2)dx = x³−x²−2x+C₂
적분상수는 반드시 C₁, C₂로 구분하세요. 서로 다른 값입니다. f(0)=4, g(0)=2를 각각 대입하면 C₁=2, C₂=8.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
fg = x³−x²−2x+8. 상수항이 8이고 계수가 정수이므로 x=−2를 넣어 보면 0이 되어 (x+2)(x²−3x+4)로 갈라집니다.
이제 후보는 f와 g에 이 두 인수를 어떻게 배정하느냐인데, f−g = x²−4x+2 (최고차가 x²)를 만족하는 쪽으로 정하면 끝입니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 ③ 6

쎈 미적분1 0783번 해설

다른 풀이 — 인수분해 대신 미정계수법

fg가 삼차, f−g가 이차이므로 f는 이차, g는 일차입니다. f(0)=4, g(0)=2를 상수항에 그대로 넣어 f = x²+ax+4, g = cx+2로 두세요.
fg의 최고차항이 cx³ = x³이므로 c=1. 그리고 f−g = x²+(a−c)x+2 = x²−4x+2에서 a−c=−4이므로 a=−3.
따라서 f(x)=x²−3x+4, g(x)=x+2. f(1)=2, g(2)=4이므로 f(1)+g(2)=6. 삼차식 인수분해를 찾기 어려울 때 이 경로가 더 빠릅니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f′g+fg′를 항별로 따로 적분하려 한다
    ∫f′(x)g(x)dx는 이 단원의 방법으로 계산할 수 없습니다. 두 항을 붙은 채로 {fg}′로 읽어야 길이 열립니다. 시험에서 f′g+fg′ 형태를 보면 반사적으로 “곱의 미분”을 떠올리세요.
  • 적분상수를 하나로 뭉갠다
    f−g에 붙는 상수와 fg에 붙는 상수는 전혀 다른 값입니다. C₁=2, C₂=8로 실제로 다릅니다. 같은 C로 쓰면 뒤에서 반드시 어긋납니다.
  • f와 g를 서로 바꿔 배정한다
    fg=(x+2)(x²−3x+4)까지 왔어도 어느 쪽이 f인지는 아직 미정입니다. f(0)=4이므로 상수항 4를 가진 x²−3x+4가 f, 나머지가 g입니다. 배정한 뒤 f−g=x²−4x+2가 맞는지 반드시 대입 검산하세요.
  • 삼차식 인수분해에서 x=−2를 시도하지 않는다
    x³−x²−2x+8에서 상수항 8의 약수 ±1, ±2, ±4, ±8을 순서대로 대입하는 것이 정석입니다. x=−2에서 −8−4+4+8=0. 남는 인수 x²−3x+4는 판별식이 음수라 더 이상 쪼개지지 않습니다.
  • f(1)+g(2)를 f(1)+g(1)로 잘못 대입한다
    대입하는 x값이 서로 다릅니다. f(1)=1−3+4=2, g(2)=2+2=4로 각각 따로 계산해야 6이 나옵니다. 급하게 풀면 4나 8 같은 오답 선택지로 정확히 빠집니다.

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