쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 03 부정적분과 미분의 관계
0771
난이도 상
부정적분과 미분의 관계
자연수의 합
풀이영상 있음
난이도 상
부정적분과 미분의 관계
자연수의 합
풀이영상 있음
먼저 보기
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
50차 다항식은 겁주기용 장식이다 — 미분과 적분이 두 겹으로 상쇄된다
기호가 세 겹으로 쌓여 있어 난이도 ‘상’으로 표시되어 있지만, 실제로 손으로 계산할 것은 거의 없습니다. 안쪽부터 하나씩 지워 나가면 F(x)=f(x)+C₂라는 한 줄이 남습니다. 진짜 계산은 마지막 F(1)에서 1부터 50까지의 합을 구하는 대목 하나뿐입니다. 50차 다항식을 실제로 미분·적분하기 시작한 순간 이 문제는 함정에 걸린 것입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 가장 안쪽 괄호부터
f(x)를 그대로 두고 기호만 보세요. 제일 안쪽은 ∫{d/dx f(x)}dx이고, 이것은 f(x)+C₁입니다.
f(x)가 50차식이라는 사실은 여기서 전혀 쓰이지 않습니다. 전개할 생각을 접으세요.
f(x)가 50차식이라는 사실은 여기서 전혀 쓰이지 않습니다. 전개할 생각을 접으세요.
힌트 2 — 한 겹 더 지우기
이제 식은 ∫[d/dx {f(x)+C₁}]dx가 되었습니다.
미분하면 상수 C₁은 사라지고, 그것을 다시 적분하면 새 상수가 붙습니다. 결국 F(x)=f(x)+C₂.
즉 F(x)=50x⁵⁰+49x⁴⁹+⋯+2x²+x+C₂ 입니다.
미분하면 상수 C₁은 사라지고, 그것을 다시 적분하면 새 상수가 붙습니다. 결국 F(x)=f(x)+C₂.
즉 F(x)=50x⁵⁰+49x⁴⁹+⋯+2x²+x+C₂ 입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(x)에는 상수항이 없으므로 f(0)=0, 따라서 F(0)=C₂=5.
F(1)은 x에 1을 넣는 것이므로 모든 계수의 합과 같습니다. 50+49+⋯+2+1+5.
1부터 50까지의 합은 50·51/2입니다.
F(1)은 x에 1을 넣는 것이므로 모든 계수의 합과 같습니다. 50+49+⋯+2+1+5.
1부터 50까지의 합은 50·51/2입니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 1280
구조로 보는 법 — 상수만 갈아 끼워진다
∫와 d/dx가 번갈아 겹쳐 있을 때, 함수 부분은 절대 변하지 않고 상수만 계속 새것으로 바뀝니다. 그래서 몇 겹이 쌓여 있든 결과는 언제나 f(x)+(어떤 상수) 꼴입니다.
이 구조를 알고 있으면 F(x)=f(x)+C를 한 줄에 쓰고, 초깃값 F(0)=5로 C를 정한 뒤 F(1)=f(1)+5만 계산하면 끝입니다. f(1)=1+2+⋯+50=1275.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
50차 다항식을 실제로 미분·적분한다
계산 자체는 가능하지만 시험 시간을 다 잡아먹고 부호·차수에서 반드시 틀립니다. f(x)를 덩어리 하나로 두고 기호만 지워 나가는 것이 이 문제의 정석입니다. -
적분상수를 하나로 뭉뚱그린다
안쪽 적분의 C₁과 바깥 적분의 C₂는 서로 다른 상수입니다. C₁은 중간에서 미분으로 사라지고 최종 답에 남는 것은 C₂뿐이라는 흐름을 답안에 남겨야 합니다. -
f(0)이 0이 아니라고 본다
f(x)=50x⁵⁰+⋯+2x²+x에는 상수항이 없습니다. 마지막 항이 x이므로 f(0)=0이고, 그래서 F(0)=C₂=5가 곧바로 나옵니다. 상수항 유무를 눈으로 확인하세요. -
1부터 50까지의 합을 잘못 센다
50·51/2=1275입니다. 50·49/2나 49·50/2로 쓰면 1225가 되어 답이 어긋납니다. 공식은 n(n+1)/2 — 끝 수에 하나 더 큰 수를 곱합니다. -
마지막에 +5를 빠뜨린다
1275까지 정확히 구해 놓고 상수 5를 더하지 않아 1275로 답하는 경우가 가장 많습니다. F(1)=f(1)+C₂이므로 반드시 5를 더해 1280입니다.