쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 03 부정적분과 미분의 관계
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부정적분과 미분의 관계
이차함수의 최댓값
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문제를 읽자마자
출제의도
적분기호를 지우면 +C가 남는다 — 그 C를 최댓값 조건으로 찾으라는 문제
겉모습은 적분 문제지만 실제 계산은 두 줄입니다. ∫{d/dx(6x−x²)}dx는 6x−x²+C로 곧장 정리되고, 남은 일은 이차함수의 최댓값을 완전제곱으로 잡아 C를 결정하는 것뿐입니다. 이 문제의 채점 포인트는 오직 하나, C를 살려 두었는가입니다. C를 빠뜨리면 최댓값이 9로 고정되어 문제의 조건 자체를 쓸 수 없게 됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 바깥 연산이 무엇인지 보기
두 공식의 차이가 이 문제의 전부입니다.
① d/dx ∫f(x)dx = f(x) — 바깥이 미분이면 상수는 사라집니다.
② ∫{d/dx f(x)}dx = f(x)+C — 바깥이 적분이면 +C가 붙습니다.
이 문제는 ②번 꼴입니다. f(x)=6x−x²+C.
① d/dx ∫f(x)dx = f(x) — 바깥이 미분이면 상수는 사라집니다.
② ∫{d/dx f(x)}dx = f(x)+C — 바깥이 적분이면 +C가 붙습니다.
이 문제는 ②번 꼴입니다. f(x)=6x−x²+C.
힌트 2 — 최댓값은 완전제곱으로
f(x)=−x²+6x+C에서 x² 계수가 음수이므로 위로 볼록, 꼭짓점에서 최댓값을 가집니다.
−x²+6x = −(x²−6x) = −(x−3)²+9 이므로 f(x)=−(x−3)²+9+C.
최댓값은 x=3일 때이고 그 값이 9+C입니다.
−x²+6x = −(x²−6x) = −(x−3)²+9 이므로 f(x)=−(x−3)²+9+C.
최댓값은 x=3일 때이고 그 값이 9+C입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
9+C=10 이므로 C=1. 따라서 f(x)=−x²+6x+1.
묻는 것은 최댓값이 아니라 f(2)입니다. 대입해서 −4+12+1을 계산하세요.
묻는 것은 최댓값이 아니라 f(2)입니다. 대입해서 −4+12+1을 계산하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 9
검산용 지름길 — 평행이동으로 보기
6x−x²만 놓고 보면 최댓값은 x=3에서 9입니다. 여기에 상수 C를 더한다는 것은 그래프를 위로 C만큼 평행이동한다는 뜻이고, 최댓값도 그대로 C만큼 올라갑니다.
따라서 9+C=10에서 C=1. 완전제곱을 쓰지 않고도 곧바로 나옵니다. 답을 구한 뒤 이 방식으로 한 번 더 확인해 보세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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적분상수 C를 빠뜨린다
이 문제에서 가장 치명적인 실수입니다. f(x)=6x−x²로 쓰면 최댓값이 9로 고정되어 “최댓값이 10″이라는 조건과 모순됩니다. 조건이 안 맞는다고 느껴진다면 C를 지운 것이 원인입니다. -
두 공식을 반대로 적용한다
d/dx∫f(x)dx는 C가 없고, ∫{d/dx f(x)}dx는 C가 붙습니다. 판단 기준은 딱 하나 — 가장 바깥 연산이 적분이면 +C. 문제를 읽자마자 바깥 기호부터 확인하세요. -
완전제곱에서 부호를 뒤집는다
−x²+6x = −(x−3)²+9입니다. −(x−3)²−9로 쓰는 실수가 잦습니다. −(x²−6x)로 묶은 다음 괄호 안에서 9를 더했으니 밖으로는 +9가 나옵니다. -
최댓값을 묻는 값과 혼동한다
최댓값은 x=3에서 나오지만, 문제가 요구한 것은 f(2)입니다. 조건을 다 쓰고 나면 “무엇을 구하라고 했는지” 문제로 되돌아가 확인하는 습관을 들이세요. -
최솟값이 있다고 착각한다
이차항 계수가 −1로 음수이므로 그래프는 위로 볼록, 최댓값만 존재하고 최솟값은 없습니다. 계수의 부호부터 확인하면 방향을 잘못 잡지 않습니다.