쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 03 부정적분과 미분의 관계
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부정적분과 미분의 관계
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문제를 읽자마자
출제의도
좌변과 우변을 각각 풀어 쓰면 f(x)에 대한 항등식 하나만 남는다
앞의 두 문제가 공식 하나씩을 물었다면, 이 문제는 둘을 한 등식 안에 섞어 놓았습니다. 좌변은 미분이 바깥이라 C가 없고, 우변은 미분이 안쪽이라 C가 붙습니다. 이 비대칭을 알아채면 f(x)−x³+2x = 2f(x)+4x²+C라는 식이 나오고, f를 한쪽으로 몰면 f(x)가 C 하나만 남긴 채 결정됩니다. 그 C를 f(2)=−15가 정해 줍니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 좌변부터 벗겨내기
좌변은 d/dx∫{ … }dx 꼴이므로 괄호 안의 식이 그대로 남습니다. C는 붙지 않습니다.
좌변 = f(x)−x³+2x.
좌변 = f(x)−x³+2x.
힌트 2 — 우변은 C가 따라온다
우변은 ∫[d/dx{ … }]dx 꼴이므로 괄호 안의 식 + C입니다.
우변 = 2f(x)+4x²+C. 좌변과 우변에서 C의 유무가 갈리는 것이 이 문제의 핵심입니다.
우변 = 2f(x)+4x²+C. 좌변과 우변에서 C의 유무가 갈리는 것이 이 문제의 핵심입니다.
힌트 3 — f를 한쪽으로 몰기
f(x)−x³+2x = 2f(x)+4x²+C에서 f(x)를 오른쪽으로 넘기면 −f(x) = x³+4x²−2x+C.
양변에 −1을 곱하면 f(x) = −x³−4x²+2x−C. 이제 f(2)=−15를 대입해 C를 구하고, 묻는 것이 f(0)임을 잊지 마세요.
양변에 −1을 곱하면 f(x) = −x³−4x²+2x−C. 이제 f(2)=−15를 대입해 C를 구하고, 묻는 것이 f(0)임을 잊지 마세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ 5
검산용 지름길 — f(0)은 결국 −C다
f(x)=−x³−4x²+2x−C에 x=0을 넣으면 남는 것은 −C뿐입니다. 즉 이 문제는 C만 구하면 끝납니다.
f(2)=−8−16+4−C=−20−C=−15에서 C=−5이므로 f(0)=−(−5)=5. 다항식을 전부 다시 정리하지 않아도 됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
좌변에도 +C를 붙인다
양쪽 모두 C를 붙이면 두 상수가 상쇄되어 f(x)에 미지수가 사라지고, f(2)=−15 조건을 쓸 자리가 없어집니다. 미분이 바깥이면 C는 없습니다. -
우변의 C를 빠뜨린다
f(x)=−x³−4x²+2x가 되어 f(2)=−20이 나옵니다. 주어진 −15와 다른데도 그냥 f(0)=0을 답으로 적게 됩니다. 조건과 어긋나면 되돌아가세요. -
이항 후 −1을 곱할 때 일부 항만 부호를 바꾼다
−f(x)=x³+4x²−2x+C의 양변에 −1을 곱하면 네 항 모두 부호가 바뀝니다. −C까지 포함해서 확인하세요. 여기서 한 항을 놓치면 이후가 전부 틀립니다. -
f(2) 대입에서 −4x²를 잘못 계산한다
−4·2²=−16입니다. (−4·2)²=64로 보거나 −8로 쓰는 실수가 잦습니다. 지수를 먼저, 곱셈을 나중에 처리하세요. -
C=−5를 그대로 f(0)의 답으로 쓴다
f(0)=−C이므로 답은 +5입니다. C를 구한 순간 다 풀었다고 느껴지지만, 부호가 한 번 더 뒤집히는 자리가 남아 있습니다. 선택지에 −5도 있으니 그대로 걸립니다.