쎈미적분1 0768

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 03 부정적분과 미분의 관계

0768
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서술형
부정적분과 미분의 관계
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쎈 미적분1 0768번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

순서만 다른 두 식을 나란히 놓고, C가 붙는 쪽을 골라내라는 서술형

g(x)는 적분 뒤에 미분 → 상수가 사라져 C가 없습니다. h(x)는 미분 뒤에 적분 → C가 붙습니다. 같은 f(x)=x²+2x에서 출발했는데 결과가 갈리는 이유가 이 문제의 전부입니다. 채점 기준도 그 지점에 배점이 몰려 있습니다. g(x)를 구하는 데 40%, h(x)를 C까지 확정하는 데 50%, 마지막 대입은 10%뿐입니다. 값만 맞혀서는 10점짜리 답안입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — g(x)부터, 미분이 바깥이다
g(x)=d/dx∫f(x)dx는 적분했다가 곧바로 다시 미분하는 꼴입니다. 적분에서 생긴 상수는 미분에서 없어지므로 원래 함수가 그대로 남습니다.
따라서 g(x)=x²+2x. 여기에 +C를 붙이면 안 됩니다.
힌트 2 — h(x)는 C를 미지수로 남긴다
h(x)=∫{d/dx f(x)}dx는 f(x)+C 꼴이므로 h(x)=x²+2x+C.
C를 지금 정할 수는 없습니다. 주어진 h(−2)=1이 바로 C를 정하라고 준 조건입니다.
힌트 3 — 대입은 두 번, 답안은 세 줄
h(−2)=1에서 4−4+C=1이므로 C=1, h(x)=x²+2x+1.
이제 g(2)와 h(−1)을 각각 계산해 더하세요. 서술형이니 ① g(x) ② h(x)와 C ③ 최종 값, 세 덩어리가 답안지에 모두 보이도록 쓰는 것까지가 풀이입니다.

다 풀고 나서

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정답 8

쎈 미적분1 0768번 해설

채점 기준

❶ g(x)를 구할 수 있다 40%
❷ h(x)를 구할 수 있다 50%
❸ g(2)+h(−1)의 값을 구할 수 있다 10%
검산용 지름길 — h(x)를 완전제곱으로 보기

C=1을 넣으면 h(x)=x²+2x+1=(x+1)²입니다.
이렇게 보면 h(−1)=0이 꼭짓점이라 계산 없이 바로 읽힙니다. g(2)=4+4=8이므로 합은 8. 다만 답안에는 정식 계산을 쓰고, 이 변형은 검산에만 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • g(x)에도 +C를 붙인다
    배점 40%가 한 번에 날아가는 자리입니다. 미분이 바깥에 있으면 상수는 미분되어 0이 됩니다. g(x)=x²+2x로 끝내야 합니다.
  • h(x)에서 C를 빠뜨린다
    h(x)=x²+2x로 두면 h(−2)=0이 되어 주어진 h(−2)=1과 어긋납니다. 조건이 하나 남아도는 순간, 공식을 잘못 썼다는 신호로 받아들이세요.
  • h(−2) 대입에서 부호를 놓친다
    h(−2)=(−2)²+2(−2)+C=4−4+C입니다. 2(−2)를 +4로 쓰면 C=−7이 나와 이후가 전부 어긋납니다. 괄호를 치고 대입하세요.
  • h(−1)=0을 계산 실수로 흘린다
    h(−1)=1−2+1=0입니다. 1+2+1=4로 쓰면 답이 12가 됩니다. 0이라는 결과가 어색해 보여도 그대로 더하면 됩니다.
  • 답만 적고 g(x), h(x)를 남기지 않는다
    서술형입니다. 8만 쓰면 10%입니다. g(x)=x²+2x, h(x)=x²+2x+1을 각각 한 줄씩 명시해야 90%가 붙습니다.

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