쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 03 부정적분과 미분의 관계
0767
대표문제
부정적분과 미분의 관계
풀이영상 있음
대표문제
부정적분과 미분의 관계
풀이영상 있음
먼저 보기
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
미분이 안쪽에 있으면 적분상수 C가 살아남는다 — 이 한 가지만 묻는 대표문제
∫{d/dx f(x)}dx = f(x) + C 입니다. 미분이 적분 안쪽에 들어 있으므로 C가 붙습니다. 순서가 반대인 d/dx∫f(x)dx = f(x)에는 C가 없습니다. 이 차이를 아는 학생에게는 F(x)=x³−x+C가 즉시 나오고, F(0)=1은 그 C를 확정하라고 준 조건입니다. 계산은 세 줄이면 끝나므로, 이 문제에서 틀린다면 계산이 아니라 공식 방향을 잘못 잡은 것입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 미분이 안쪽인가, 바깥쪽인가
기호를 바깥에서 안으로 읽으세요. 이 문제는 적분 기호가 바깥, 미분 기호가 안쪽입니다.
즉 ∫{d/dx f(x)}dx = f(x) + C 꼴입니다. C가 붙는 쪽입니다.
즉 ∫{d/dx f(x)}dx = f(x) + C 꼴입니다. C가 붙는 쪽입니다.
힌트 2 — f(x)가 무엇인지 지목하기
안쪽 미분의 대상이 f(x) 자리입니다. 여기서는 f(x)=x³−x.
따라서 F(x)=x³−x+C. 아직 C는 모르는 값으로 그대로 두세요. 미리 0으로 두면 안 됩니다.
따라서 F(x)=x³−x+C. 아직 C는 모르는 값으로 그대로 두세요. 미리 0으로 두면 안 됩니다.
힌트 3 — 주어진 조건이 C를 정한다
F(0)=1을 대입하면 0−0+C=1이므로 C=1.
F(x)=x³−x+1을 완성한 뒤 x=3을 넣으세요. 27−3+1을 한 번에 계산하지 말고 24+1로 끊어서 확인하면 안전합니다.
F(x)=x³−x+1을 완성한 뒤 x=3을 넣으세요. 27−3+1을 한 번에 계산하지 말고 24+1로 끊어서 확인하면 안전합니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ 25
검산용 지름길 — C를 구하지 않고 차로 처리하기
F(x)=x³−x+C에서 C가 무엇이든 F(3)−F(0)에서는 상쇄됩니다.
F(3)−F(0) = (27−3) − (0−0) = 24이므로, F(0)=1이면 F(3)=24+1=25. C를 따로 구하는 단계를 건너뛸 수 있어 검산이 빠릅니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
적분상수 C를 빠뜨린다
이 문제에서 가장 많이 나오는 오답 경로입니다. F(x)=x³−x로 두면 F(0)=0이 되어 주어진 F(0)=1과 모순인데, 그대로 F(3)=24를 답으로 적게 됩니다. 선택지에 24가 있으니 걸러지지도 않습니다. -
두 공식을 반대로 외운다
d/dx∫f(x)dx = f(x) (C 없음), ∫{d/dx f(x)}dx = f(x)+C (C 있음). “미분이 나중에 오면 상수가 죽고, 적분이 나중에 오면 상수가 살아난다”로 기억하세요. -
안쪽을 굳이 미분해서 다시 적분한다
d/dx(x³−x)=3x²−1로 바꾼 뒤 다시 적분해도 답은 같지만, 계산 단계가 늘어나 부호·계수 실수가 끼어듭니다. 공식으로 한 번에 x³−x+C로 쓰는 것이 정석입니다. -
27−3+1을 27−(3+1)로 계산한다
23이 나와 ③번을 고르게 됩니다. 선택지가 21~25로 촘촘하게 배치되어 있어 산술 실수 하나가 곧바로 오답이 됩니다. 앞에서부터 차례로 24, 25로 끊어 쓰세요. -
F(0)=1을 “상수항이 1″로 넘겨짚는다
여기서는 우연히 맞지만, 위험한 습관입니다. x=0을 대입해도 상수항만 남지 않는 식이 얼마든지 나옵니다. 항상 대입해서 확인하세요.