쎈미적분1 0763

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 01 부정적분의 정의

0763
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부정적분과 미분의 관계
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쎈 미적분1 0763번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

∫h(x)dx=f(x)g(x) 꼴을 보자마자 양변을 미분할 생각부터 하는 문제

부정적분 기호 안에 h(x)를 직접 구하라는 것이 아니라, “적분하면 f(x)g(x)가 된다”는 조건을 미분으로 뒤집어야 풀리는 문제입니다. 양변을 x에 대해 미분하면 h(x)={f(x)g(x)}’이고, 이는 곱의 미분법 f'(x)g(x)+f(x)g'(x)로 바로 전개됩니다. f(x)=x²-1, g(x)=2x²-4x+1을 대입해 전개한 뒤 일차항의 계수만 뽑아내면 되는, 곱의 미분법 적용력을 직접 확인하는 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 양변을 미분하기
∫h(x)dx=f(x)g(x)의 양변을 x에 대해 미분하면 h(x)={f(x)g(x)}’이 됩니다.
h(x)를 직접 적분해서 구하려 하지 말고, 곱의 미분으로 접근하세요.
힌트 2 — 곱의 미분법 적용
{f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)입니다.
f(x)=x²-1이면 f'(x)=2x, g(x)=2x²-4x+1이면 g'(x)=4x-4. 이 네 식을 각각 준비하세요.
힌트 3 — 전개해서 일차항만 골라내기
h(x)=2x(2x²-4x+1)+(x²-1)(4x-4)를 전개하면 8x³-12x²-2x+4가 됩니다.
문제가 묻는 것은 h(x) 전체가 아니라 일차항의 계수이므로, x의 계수만 확인하면 답이 나옵니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ③ −2

쎈 미적분1 0763번 해설

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • h(x)를 f(x)g(x) 자체로 착각한다
    ∫h(x)dx=f(x)g(x)라는 것은 f(x)g(x)가 h(x)의 부정적분이라는 뜻이지, h(x)=f(x)g(x)가 아닙니다. h(x)를 구하려면 반드시 f(x)g(x)를 한 번 미분해야 합니다.
  • 곱의 미분법에서 항 하나를 빠뜨린다
    {f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)에서 두 항 중 하나를 빼먹는 실수가 잦습니다. 미분한 항과 원래 항이 서로 자리를 바꿔가며 곱해진다는 형태를 정확히 기억하세요.
  • g'(x)=4x-4를 4x로 잘못 쓴다
    g(x)=2x²-4x+1에서 -4x를 미분하면 -4이고, 상수항 1을 미분하면 0입니다. 상수항 미분 결과를 깜빡 남겨두거나 -4를 빠뜨리는 실수를 주의하세요.
  • 전개 과정에서 부호를 놓쳐 계수를 틀린다
    (x²-1)(4x-4)를 전개할 때 -1과 -4x-4 각 항의 부호를 하나씩 놓치기 쉽습니다. 항이 4개인 곱셈이므로 전개 결과를 다시 한번 검산하고 동류항을 정리하세요.
  • 일차항이 아니라 상수항이나 최고차항 계수를 답으로 쓴다
    h(x)=8x³-12x²-2x+4에서 일차항은 -2x입니다. 마지막 항 4(상수항)나 -12(이차항 계수)를 답으로 잘못 고르지 않도록, 어떤 항의 계수를 묻는지 다시 확인하세요.

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