쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 01 부정적분의 정의
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난이도 하
부정적분의 정의
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문제를 읽자마자
출제의도
“부정적분 중 하나”라는 말이 보이면 미분하라는 신호다
주어진 3x²+x−1은 f(x)가 아니라 F(x)입니다. F가 f의 부정적분이라는 말은 F′=f라는 뜻이므로, f를 구하려면 반대로 미분해야 합니다. 계산은 3초면 끝나지만, 적분과 미분 중 어느 쪽으로 가야 하는지에서 방향이 갈리는 문제입니다. 이 방향 감각이 07단원 전체를 지탱합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 누가 F이고 누가 f인가
문장을 그대로 옮기면 “3x²+x−1은 f(x)의 부정적분 중 하나”입니다.
즉 F(x)=3x²+x−1로 두는 것이지, f(x)=3x²+x−1이 아닙니다. 이름표부터 정확히 붙이고 시작하세요.
즉 F(x)=3x²+x−1로 두는 것이지, f(x)=3x²+x−1이 아닙니다. 이름표부터 정확히 붙이고 시작하세요.
힌트 2 — 그러면 f는 어떻게 얻나
부정적분의 정의에서 F′(x)=f(x)입니다.
f(x)를 구하려면 F(x)를 미분하면 됩니다. (3x²+x−1)′을 계산하세요. 상수항 −1은 미분하면 0입니다.
f(x)를 구하려면 F(x)를 미분하면 됩니다. (3x²+x−1)′을 계산하세요. 상수항 −1은 미분하면 0입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(x)=6x+1입니다.
문제가 물은 것은 f(1)이므로 x=1을 대입해 6+1을 계산하고, 그 값이 선지 ①~⑤ 중 몇 번인지까지 확인해서 답하세요.
문제가 물은 것은 f(1)이므로 x=1을 대입해 6+1을 계산하고, 그 값이 선지 ①~⑤ 중 몇 번인지까지 확인해서 답하세요.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ (f(1)=7)
“중 하나”라는 표현의 의미
부정적분은 F(x)+C 꼴로 무수히 많습니다. 그래서 문제는 “부정적분 중 하나”라고 씁니다. 하지만 어떤 것을 골라도 미분하면 결과는 같은 f(x)이므로, C가 무엇인지는 신경 쓸 필요가 없습니다. 3x²+x−1 대신 3x²+x+100을 줘도 f(x)=6x+1로 똑같습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
3x²+x−1을 f(x)로 놓는다
이 문제에서 가장 많이 나오는 실수입니다. 주어진 식은 F(x)입니다. f(x)로 착각하면 f(1)=3+1−1=3, 즉 ①번을 고르게 됩니다. 선지에 그 오답이 준비되어 있습니다. -
미분해야 할 것을 적분한다
“부정적분”이라는 단어에 끌려 ∫(3x²+x−1)dx를 계산하면 방향이 정반대입니다. F가 주어졌으니 f는 미분으로 얻습니다. -
상수항 −1을 미분에서 살려 둔다
(3x²+x−1)′=6x+1입니다. 6x+1−1로 쓰면 f(1)=6이 되어 ④번 오답으로 갑니다. 상수의 미분은 0. -
3x²의 미분을 3x로 쓴다
지수를 앞으로 내리고 지수는 1 줄입니다. (3x²)′=3·2x=6x. 급하게 풀 때 계수 2를 곱하지 않는 실수가 잦습니다. -
7을 구해 놓고 번호를 잘못 고른다
7은 ⑤번입니다. 객관식은 값과 번호가 다르다는 것을 늘 의식하세요. 답을 적기 전에 선지를 한 번 더 짚는 습관이 실전에서 몇 점을 지켜 줍니다.