쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 01 부정적분의 정의
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대표문제
부정적분의 정의
인수분해
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문제를 읽자마자
출제의도
적분기호가 보이면 양변을 미분한다 — 부정적분의 정의를 그대로 쓰는 대표문제
이 단원의 출발점은 딱 하나입니다. ∫f(x)dx=F(x)+C 라는 것은 F′(x)=f(x)와 완전히 같은 말이라는 것. 그래서 적분식이 주어지면 미분해서 피적분함수를 되찾는 것이 첫 수입니다. 여기서는 미분한 결과 6x²−24를 6(x+2)(x−2)로 인수분해해, 좌변의 (x−2)와 짝을 맞춰 f(x)를 뽑아내는 것까지가 한 세트입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 손댈 곳은 양변 미분뿐
∫(x−2)f(x)dx=2x³−24x+C 에서 알 수 있는 것은 (x−2)f(x)가 2x³−24x+C의 도함수라는 사실입니다.
양변을 x에 대해 미분하세요. 적분상수 C는 미분하면 사라집니다.
양변을 x에 대해 미분하세요. 적분상수 C는 미분하면 사라집니다.
힌트 2 — 우변을 인수분해
미분하면 (x−2)f(x)=6x²−24가 됩니다. 이대로는 f(x)를 볼 수 없습니다.
6x²−24=6(x²−4)=6(x+2)(x−2). 좌변과 우변에 똑같이 (x−2)가 들어 있는 게 보이나요?
6x²−24=6(x²−4)=6(x+2)(x−2). 좌변과 우변에 똑같이 (x−2)가 들어 있는 게 보이나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
양변의 (x−2)를 지우면 f(x)=6(x+2)입니다.
문제가 물은 것은 f(x)가 아니라 f(2)라는 점을 놓치지 마세요. x=2를 대입해서 값까지 계산해야 끝입니다.
문제가 물은 것은 f(x)가 아니라 f(2)라는 점을 놓치지 마세요. x=2를 대입해서 값까지 계산해야 끝입니다.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 24
왜 (x−2)를 그냥 지워도 되나
엄밀히 말하면 (x−2)로 나누는 순간 x≠2라는 조건이 붙습니다. 그런데 f(x)는 다항함수이고, 다항함수 f(x)와 6(x+2)가 x=2를 제외한 모든 실수에서 같다면 x=2에서도 같습니다(연속). 그래서 f(x)=6(x+2)를 전 구간에서 그대로 써도 됩니다. 이 근거를 알고 쓰는 학생과 그냥 지우는 학생은 서술형에서 갈립니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
미분하지 않고 x=2를 바로 대입한다
f(2)를 물었다고 원식에 x=2를 넣으면 좌변이 0·f(2)=0이 되어 아무 정보도 나오지 않습니다. 적분식은 반드시 먼저 미분한 뒤에 대입하세요. -
적분상수 C를 미분 결과에 남겨 둔다
(2x³−24x+C)′=6x²−24입니다. C는 상수이므로 미분하면 0. 6x²−24+C 같은 식이 나오면 그 뒤가 전부 어긋납니다. -
6(x²−4)에서 멈춘다
여기서 끝내면 (x−2)와 짝을 맞출 수 없습니다. x²−4=(x+2)(x−2)까지 반드시 펼치세요. 좌변에 (x−2)가 있으면 우변도 (x−2)를 드러내는 것이 이 유형의 정석입니다. -
f(x)=6(x+2)를 답으로 적고 끝낸다
구하는 것은 f(2)입니다. f(2)=6·(2+2)=24. 마지막 대입 한 줄을 빠뜨려 0점 처리되는 경우가 의외로 많습니다. -
6(x+2)에 x=2를 넣고 12로 쓴다
괄호 안만 계산하고 앞의 6을 곱하지 않은 실수입니다. 6·(2+2)=6·4=24. 계수를 반드시 다시 확인하세요.