쎈미적분1 0716

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 · 유형 19

0716
대표 문제
시각에 대한 부피의 변화율
풀이영상 있음

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공기를 넣어 부풀어 오르는 구 모양 고무풍선 — 부피의 변화율

반지름의 길이가 2 cm인 구 모양의 고무풍선에 공기를 넣어 반지름이 매초 5 mm씩 늘어나고 있습니다. 4초 후의 고무풍선의 부피의 변화율을 구하는 문제입니다. (선택지: 8π / 16π / 24π / 32π / 40π cm³/s)

문제를 읽자마자

출제의도

계산 이전에 단위 통일과 초기값을 챙기는지 보는 문제

구의 부피 공식만 알면 되는 문제처럼 보이지만, 함정이 두 개 심어져 있습니다. 하나는 부피가 cm³인데 늘어나는 속도만 mm로 주어졌다는 것, 다른 하나는 반지름이 0에서 출발하지 않고 2 cm에서 시작한다는 것입니다. 이 둘을 반영해 r를 t의 식으로 세우면 나머지는 다항함수 미분입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 단위부터 맞추기
선택지의 단위가 cm³/s입니다. 그런데 늘어나는 속도는 mm로 주어져 있죠.
5 mm = 5/10 = 1/2 cm로 먼저 바꿔 두세요. 이걸 빼먹으면 아래 계산이 아무리 정확해도 답이 10배 어긋납니다.
힌트 2 — 반지름을 t의 식으로
처음 반지름이 2 cm이고 매초 1/2 cm씩 늘어나므로, t초 후의 반지름은 (2 + t/2) cm입니다.
부피를 V cm³라 하면 V = (4/3)π(2 + t/2)³. 여기서 초기값 2를 빠뜨리지 않는 것이 이 문제의 핵심입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
전개하면 V = (4/3)π(t³/8 + (3/2)t² + 6t + 8)이고, dV/dt = (4/3)π((3/8)t² + 3t + 6)입니다.
t=4를 대입하면 괄호 안이 6+12+6 = 24. 여기에 4/3을 곱하세요. 전개가 번거롭다면 아래 다른 풀이의 연쇄법칙을 쓰면 두 줄로 끝납니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  32π cm³/s

쎈 미적분1 0716번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 전개하지 않고 연쇄법칙

V = (4/3)πr³이므로 dV/dr = 4πr², 그리고 dr/dt = 1/2.
dV/dt = 4πr² × (1/2) = 2πr². t=4일 때 r = 2 + 4×(1/2) = 4 cm이므로 dV/dt = 2π×16 = 32π (cm³/s).
3차식 전개를 아예 하지 않으므로 계산 실수가 사라집니다. “부피의 변화율 = 겉넓이 × 반지름의 변화율”로 기억해 두면 원기둥·원뿔 문제에도 그대로 씁니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 5 mm를 cm로 바꾸지 않는다
    r = 2 + 5t로 놓으면 t=4에서 반지름이 22 cm가 되어 답이 터무니없이 커집니다. 문제에 두 가지 단위가 보이면 식을 세우기 전에 하나로 통일하세요.
  • 초기 반지름 2 cm를 빠뜨린다
    r = t/2로 두면 t=4에서 r=2, dV/dt = 2π×4 = 8π가 나와 ①번 오답으로 유도됩니다. “처음 ○이고 매초 △씩”은 언제나 상수항 + 일차항 구조입니다.
  • t = 4를 미분하기 전에 대입한다
    먼저 대입하면 V는 그냥 상수가 되고 미분값이 0입니다. 순서는 항상 ① 관계식 → ② 미분 → ③ 대입입니다.
  • (2 + t/2)³ 전개에서 계수를 흘린다
    t³/8 + (3/2)t² + 6t + 8에서 중간 계수를 틀리는 사례가 가장 많습니다. 전개가 불안하면 다른 풀이의 dV/dt = 4πr²·(dr/dt)로 가세요.
  • 구의 부피와 겉넓이 공식을 바꿔 쓴다
    부피는 (4/3)πr³, 겉넓이는 4πr²입니다. 부피를 r로 미분하면 겉넓이가 나온다는 관계를 알고 있으면 공식 혼동이 사라집니다.


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