쎈미적분1 0702

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용

0702
난이도 중
서술형
위로 던진 물체의 위치와 속도
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풀이영상

유형 14 · 개념 06-3

지면으로부터 30 m의 위치에서 처음 속도 25 m/s로 지면과 수직하게 위로 던진 물체의 t초 후의 높이를 h m라 하면

h = 30 + 25t − 5t²

이다. 이 물체가 지면에 떨어지는 순간의 속력은 몇 m/s인지 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

최고 지점이 아니라 지면 도달, 그리고 속도가 아니라 속력

앞 문항과 그림은 비슷하지만 묻는 지점이 다릅니다. 조건은 “가장 높은 곳”이 아니라 “지면에 닿는다”, 즉 h = 0입니다. 게다가 그 순간 물체는 내려오는 중이라 속도가 음수로 나옵니다. 답은 그 절댓값인 속력입니다. 조건 번역과 마무리 처리, 두 군데에서 갈리는 문항입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 어느 순간을 묻는지
최고 지점을 구하려 하고 있다면 방향이 어긋났습니다. 이 문제가 말하는 순간은 물체가 땅에 닿는 순간입니다.
땅에 닿았을 때 높이 h는 얼마인가요? 그 값을 식에 넣어 t를 구하는 것이 첫 단계입니다.
힌트 2 — 시각 구하기
h = 0에서 30 + 25t − 5t² = 0. 양변을 −5로 나누면 t² − 5t − 6 = 0, 인수분해하면 (t + 1)(t − 6) = 0 입니다.
t = −1과 t = 6 중 어느 쪽을 버려야 할까요? 버리는 이유(t ≥ 0)를 답안에 반드시 적으세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
v = dh/dt = 25 − 10t에 t = 6을 넣으면 −35가 나옵니다. 음수가 나왔다고 계산을 의심하지 마세요. 내려오는 중이니 당연합니다.
문제가 물은 것은 속도가 아니라 속력입니다. 속력 = |속도| 입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 35 m/s

쎈 미적분1 0702번 해설

서술형 채점 기준

채점 기준 비율
❶ 물체가 지면에 떨어질 때의 시각을 구할 수 있다. 40 %
❷ t초 후의 속도를 구할 수 있다. 30 %
❸ 물체가 지면에 떨어지는 순간의 속도를 구할 수 있다. 20 %
❹ 물체가 지면에 떨어지는 순간의 속력을 구할 수 있다. 10 %
검산용 다른 시선 — 대칭성

최고 지점은 v = 0에서 t = 2.5초, 그때 높이는 61.25 m입니다. 최고점에서 지면까지 떨어지는 데 걸리는 시간은 6 − 2.5 = 3.5초이고, 자유낙하 속력은 10 × 3.5 = 35 m/s. 같은 값이 나옵니다.
빠른 검산에는 좋지만 서술형 답안에는 h = 0 → t = 6 → v(6) 순서를 그대로 쓰세요. 채점 기준이 그 순서로 매겨져 있습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • −35를 답으로 쓴다
    속도는 −35 m/s, 속력은 35 m/s입니다. 마지막 배점 10 %가 정확히 이 구분에 걸려 있습니다. 문제 문장에 ‘속력’이라고 쓰여 있으면 동그라미를 쳐 두세요.
  • 최고 지점을 구하고 끝낸다
    앞 문항의 관성으로 v = 0을 풀어 t = 2.5를 구하는 경우가 많습니다. 여기서 필요한 조건은 v = 0이 아니라 h = 0입니다.
  • t = −1을 그냥 지운다
    버리는 것은 맞지만, 서술형에서는 이유가 필요합니다. 시간이므로 t ≥ 0, 따라서 t = 6 이라고 한 줄 적어야 ❶의 40 %가 온전히 들어옵니다.
  • 처음 높이 30을 빠뜨린다
    h = 25t − 5t²로 세우면 지면 도달 시각이 t = 5로 바뀌어 답이 통째로 달라집니다. 던진 위치가 지면이 아니라는 점이 이 문항의 핵심 조건입니다.
  • 25 − 10t 에서 부호를 흘린다
    25 − 60을 −35가 아닌 35로 적어 버리면 속력이 우연히 맞아도 ❸ 단계에서 감점됩니다. 속도는 음수로, 속력은 양수로 각각 한 줄씩 남기세요.

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