쎈미적분1 0703 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 ⑵

0703
난이도 중
직선운동에서의 속도
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문제를 읽자마자

“최소 80 m인 지점까지 도달”을 최고점의 높이 ≥ 80으로 번역하라는 문제

물어보는 것은 높이가 아니라 초속도 a의 최솟값입니다. 그런데 a가 문자로 남아 있으므로 최고점의 높이도 a로 표현해야 하고, 그 값이 80 이상이어야 한다는 부등식 하나로 정리됩니다. 최고점을 찾는 도구는 v=0, 그것뿐입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇을 구해야 하는가

“높이가 최소 80 m인 지점까지 도달한다”는 것은, 이 물체가 올라갈 수 있는 가장 높은 지점의 높이가 80 이상이라는 뜻입니다.
h=at−5t²에서 h가 최대가 되는 순간을 먼저 찾아야 합니다.

힌트 2 — 최고점의 조건

올라가던 물체가 방향을 바꾸는 최고점에서는 속도가 0입니다.
v=dh/dt=a−10t이므로 a−10t=0에서 t=a/10. 이 순간이 최고점에 도달하는 시각입니다.

힌트 3 — 마지막 한 걸음

t=a/10을 v가 아니라 h에 대입하세요. a·(a/10)−5·(a/10)²=a²/20입니다.
이제 a²/20 ≥ 80을 풀되, a는 위로 던진 초속도이므로 a>0이라는 조건을 반드시 붙이세요.

다 풀고 나서

정답·해설 펼치기

정답 ③ a의 최솟값 = 40

쎈 미적분1 0703번 해설

더 빠른 길 — 완전제곱으로 꼭짓점 읽기

h=at−5t²=−5(t−a/10)²+a²/20이므로 미분하지 않아도 최고점의 높이가 a²/20임을 바로 읽을 수 있습니다.
a²/20 ≥ 80 ⟹ a² ≥ 1600 ⟹ a ≥ 40. 이차함수 단원에서 쓰던 도구가 그대로 통하는 문항입니다.

덮기 직전에

h=80을 대입해 방정식으로 푼다
“최소 80 m인 지점까지”는 등식이 아니라 부등식입니다. (최고점의 높이) ≥ 80으로 세워야 최솟값을 물은 이유가 살아납니다.
최고점에서 높이가 0이라고 착각한다
0이 되는 것은 높이가 아니라 속도입니다. v=0인 시각을 구하는 것이 목적이고, 높이는 그 시각을 h에 대입해서 얻습니다.
t=a/10을 h가 아니라 v에 대입한다
v에 넣으면 당연히 0만 나옵니다. 구한 시각은 반드시 원래 함수 h에 되돌려 넣으세요.
a² ≥ 1600에서 a ≤ −40까지 답으로 잡는다
위로 던진 초속도이므로 a>0입니다. 조건을 붙이지 않으면 최솟값이 존재하지 않는 결론으로 흘러갑니다.
5·(a/10)² 계산에서 분모를 놓친다
5·a²/100=a²/20입니다. a²/10−a²/20=a²/20까지 한 번 더 정리해야 하며, 여기서 a²/10으로 끝내면 최솟값이 √800꼴로 어긋납니다.