쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용
0701
대표 문제
위로 던진 물체의 위치와 속도
풀이영상 있음
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위로 던진 물체의 위치와 속도
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유형 14 · 개념 06-3
지면에서 처음 속도 20 m/s로 지면과 수직하게 위로 쏘아 올린 로켓의 t초 후의 높이를 h m라 하면
h = 20t − 5t²
이다. 이 로켓이 최고 지점에 도달했을 때 지면으로부터의 높이를 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
“최고 지점”을 속도 = 0으로 번역할 수 있는지 묻는 대표 문제
올라가는 동안 속도는 양수, 내려올 때는 음수입니다. 그 사이에 반드시 0을 지나고, 그 순간이 가장 높은 지점입니다. 그래서 h를 미분해 v = 0인 시각을 찾고, 그 시각을 다시 h에 넣어 높이를 읽습니다. 이 두 단계 왕복이 유형 14 전체의 골격이라 뒤에 나오는 문항들이 전부 이 틀을 변형합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 최고 지점을 식으로 바꾸기
“가장 높은 곳”을 눈으로 상상하지 말고 조건으로 바꾸세요. 위로 올라가던 로켓이 방향을 바꾸는 순간, 속도는 0입니다.
그러면 먼저 무엇을 만들어야 할까요?
그러면 먼저 무엇을 만들어야 할까요?
힌트 2 — 속도 만들기
높이 h를 시간으로 미분하면 속도입니다. v = dh/dt = 20 − 10t
여기에 v = 0을 넣어 t를 구하세요. 처음 속도 20이 식 안에 그대로 살아 있는 것도 확인해 두면 좋습니다(t = 0일 때 v = 20).
여기에 v = 0을 넣어 t를 구하세요. 처음 속도 20이 식 안에 그대로 살아 있는 것도 확인해 두면 좋습니다(t = 0일 때 v = 20).
힌트 3 — 마지막 한 걸음
t = 2가 나왔나요? 그건 시각입니다. 문제가 물은 것은 높이이므로 t = 2를 원래 식 h = 20t − 5t²에 대입하세요.
20 × 2 − 5 × 2² 를 한 줄씩 적으면 계산 실수가 줄어듭니다.
20 × 2 − 5 × 2² 를 한 줄씩 적으면 계산 실수가 줄어듭니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 20 m
검산용 다른 시선 — 꼭짓점
h = −5(t − 2)² + 20 이므로 t = 2에서 최댓값 20을 갖습니다. 미분으로 얻은 t = 2, h = 20과 정확히 일치하므로 검산에 쓰기 좋습니다.
다만 h가 이차식일 때만 통하는 방법입니다. 뒤에 나오는 삼차식 문항에서는 v = 0으로 시각을 찾는 정석만 통합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
t = 2를 답으로 쓴다
이 유형에서 압도적으로 많은 실수입니다. 최고 지점에 도달한 것은 2초 후이고, 그때의 높이가 20 m입니다. 문제가 시각을 물었는지 높이를 물었는지 마지막에 한 번 더 읽으세요. -
처음 속도 20을 높이 20과 헷갈린다
이 문항은 우연히 두 값이 모두 20이라 헷갈리기 쉽습니다. 20 m/s는 속도, 20 m는 높이로 단위를 붙여 구분해 적으세요. -
−5t²의 미분을 −5t 또는 −10t²로 쓴다
−5 × 2t = −10t 입니다. 부호와 계수를 따로 확인하면 20 − 10t 가 안정적으로 나옵니다. -
t = 2를 v에 대입한다
속도식에 넣으면 0이 나올 뿐입니다. 높이는 미분하기 전 식 h에 넣어야 나옵니다. 두 식을 답안에 나란히 적어 두세요. -
“속도가 0이므로”라는 근거 문장을 빼먹는다
지금은 답만 맞으면 되지만, 같은 상황이 서술형으로 나오면 이 한 줄이 배점입니다. 대표 문제에서 미리 쓰는 습관을 들이세요.