쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용
0700
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정지하는 물체의 속도와 움직인 거리
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유형 13 · 본책 111쪽
직선 레일을 달리는 기차가 제동을 건 후 t초 동안 움직인 거리를 x m라 하면
x = 27t − 0.45t²
이다. 이 기차가 목적지에 정확히 정지하려면 목적지로부터 전방 a m의 지점에서 제동을 걸어야 한다고 할 때, 상수 a의 값을 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
a는 거리다. 제동거리를 묻는 문제라는 걸 알아차리면 끝난다
“목적지로부터 전방 a m 지점에서 제동을 걸면 목적지에 정확히 선다”는 말은, a가 곧 제동을 건 순간부터 완전히 멈출 때까지 기차가 굴러간 거리라는 뜻입니다. 그래서 순서가 정해집니다. 먼저 미분해서 멈추는 시각을 찾고, 그 시각을 원래 거리식 x에 다시 넣습니다. 미분식에 넣는 게 아닙니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 주어진 식이 무엇인지부터
x는 속도가 아니라 움직인 거리입니다. 그러니 속도는 그냥 주어져 있지 않고, 미분해서 만들어야 합니다.
v = dx/dt 를 먼저 써 보세요.
v = dx/dt 를 먼저 써 보세요.
힌트 2 — “정지한다”를 식으로
기차가 멈춘다는 것은 속도가 0이 된다는 뜻입니다. v = 27 − 0.9t 에서 v = 0을 풀면 멈추는 시각 t가 나옵니다.
여기서 나온 값은 시간(초)이지 거리가 아닙니다. 아직 답이 아닙니다.
여기서 나온 값은 시간(초)이지 거리가 아닙니다. 아직 답이 아닙니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
멈출 때까지 걸린 시간을 구했으면, 그 시간 동안 굴러간 거리를 구해야 합니다. 처음에 준 x = 27t − 0.45t²에 그 t를 대입하세요.
0.45 × 30²을 계산할 때 27 × 30을 빼먹지 않도록 두 항을 따로 적고 빼세요.
0.45 × 30²을 계산할 때 27 × 30을 빼먹지 않도록 두 항을 따로 적고 빼세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = 405
서술형 채점 기준
| 채점 기준 | 비율 |
|---|---|
| ❶ 기차가 제동을 건 후 정지할 때까지 걸린 시간을 구할 수 있다. | 50 % |
| ❷ a의 값을 구할 수 있다. | 50 % |
확인용 다른 시선 — 이차함수의 꼭짓점
x = −0.45(t − 30)² + 405 로 완전제곱하면 t = 30에서 x가 최대 405임이 바로 보입니다. 제동 후 거리는 계속 늘다가 멈추는 순간 최대가 되므로 두 관점의 답이 같습니다.
단, 서술형 답안에는 v = dx/dt = 0 이라는 미분 과정을 반드시 남기세요. 꼭짓점 계산만으로는 채점 기준 ❶을 채우지 못합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
t = 30을 답으로 쓴다
가장 흔한 실수입니다. 30은 멈출 때까지 걸린 시간(초)이고, 문제가 물은 a는 거리(m)입니다. 답을 적기 전에 단위를 한 번 소리 내어 확인하세요. -
t = 30을 v에 대입한다
속도식에 넣으면 당연히 0이 나옵니다. 거리를 구하려면 미분하기 전의 원래 식 x에 넣어야 합니다. 미분한 식과 원래 식을 각각 따로 적어 두면 헷갈리지 않습니다. -
0.45t²의 미분을 0.45t나 0.9t²로 쓴다
소수 계수에서 특히 자주 틀립니다. (t²)′ = 2t 이므로 0.45 × 2t = 0.9t 입니다. 계수와 문자를 분리해서 계산하세요. -
27 × 30을 빼먹고 405만 적는다
0.45 × 900 = 405 이고, 정답도 405입니다. 값이 우연히 같아서 계산을 건너뛴 학생도 맞은 것처럼 보입니다. 810 − 405 = 405 두 줄을 반드시 적으세요. -
서술형인데 결론만 적는다
이 문항은 시간 구하기 50 %, a 구하기 50 %입니다. v = 0에서 t = 30을 구한 과정이 답안에 없으면 절반이 날아갑니다.