쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 — 속도와 가속도
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난이도 중
두 점이 반대 방향으로 움직일 조건
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출제의도
“서로 반대 방향”을 두 속도의 곱이 음수로 옮겨 적는 문제
번역만 정확하면 남는 건 이차부등식 한 줄입니다. 방향을 결정하는 건 위치가 아니라 속도의 부호이고, 부호가 서로 다르다는 조건은 vP·vQ<0 한 줄로 압축됩니다. 선택지가 “또는”으로 이어진 형태를 섞어 둔 이유는 같은 방향 조건과 헷갈리게 만들기 위해서입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향을 결정하는 것
점이 오른쪽으로 가는지 왼쪽으로 가는지는 위치 x가 아니라 속도 v=dx/dt의 부호가 결정합니다.
먼저 vP와 vQ를 각각 구해 두세요. 둘 다 일차식이 나옵니다.
먼저 vP와 vQ를 각각 구해 두세요. 둘 다 일차식이 나옵니다.
힌트 2 — 반대 방향을 부등식으로
vP=2t−4, vQ=2t−8입니다. 두 점이 서로 반대 방향으로 움직인다는 건 두 속도의 부호가 서로 다르다는 뜻이고, 이는 곧
vP·vQ < 0 한 줄입니다.
vP·vQ < 0 한 줄입니다.
힌트 3 — 계수 정리하고 풀기
(2t−4)(2t−8)<0에서 양쪽 괄호의 2를 묶으면 4(t−2)(t−4)<0, 즉 (t−2)(t−4)<0입니다.
두 근 사이가 답이므로 2<t<4. 등호가 들어가지 않는 이유도 함께 생각해 보세요. t=2나 t=4에서는 한 점이 멈춰 있습니다.
두 근 사이가 답이므로 2<t<4. 등호가 들어가지 않는 이유도 함께 생각해 보세요. t=2나 t=4에서는 한 점이 멈춰 있습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② 2 < t < 4
다른 길 — 부호표로 눈으로 확인하기
vP=2t−4는 t>2에서 양수, vQ=2t−8은 t>4에서 양수입니다.
수직선에 두 부호를 나란히 적으면 t<2에서는 (−, −), 2<t<4에서는 (+, −), t>4에서는 (+, +).
부호가 어긋나는 구간은 가운데 하나뿐이므로 2<t<4. 곱셈을 하지 않아도 답이 보입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
위치끼리 곱해서 xP·xQ<0을 푼다
위치의 부호는 원점의 어느 쪽에 있는지를 말할 뿐, 어느 쪽으로 가는지와는 무관합니다. 방향 문제는 예외 없이 미분부터입니다. -
같은 방향 조건을 구해 놓고 답을 고른다
vPvQ>0을 풀면 t<2 또는 t>4가 나오고, 선택지 ④·⑤가 그 오답을 받아먹으려고 배치되어 있습니다. 부등호 방향을 세울 때 “반대=음수”를 소리 내어 확인하세요. -
등호를 넣어 2≤t≤4로 답한다
t=2에서는 P가, t=4에서는 Q가 순간적으로 멈춰 있습니다. 멈춘 점에는 방향이 없으므로 “서로 반대”라고 말할 수 없습니다. 부등호는 반드시 <입니다. -
2t−4, 2t−8의 계수 2를 흘린다
(2t−4)(2t−8)<0을 4(t−2)(t−4)<0으로 묶는 과정에서 4를 잘못 처리하면 근이 달라집니다. 양수 4는 부등호 방향에 영향을 주지 않으니 그대로 나눠 없애면 됩니다. -
t≥0 조건을 확인하지 않는다
이 문항은 답이 2<t<4라 자동으로 만족하지만, 시각 t는 음수가 될 수 없다는 전제는 항상 살아 있습니다. 근이 음수로 나오는 문항에서 이 습관이 점수를 지켜 줍니다.