쎈미적분1 0695

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 — 속도와 가속도

0695
난이도 중
서술형
중점의 운동 방향
풀이영상 있음

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쎈 미적분1 0695번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

두 점을 각각 미분하지 말고, 중점의 위치식부터 만들어라는 문제

움직이는 것은 A도 B도 아닌 중점 M입니다. m(t)=½{f(t)+g(t)}를 먼저 정리하면 t³이 서로 상쇄되어 이차식이 되고, 그 뒤 미분하면 속도가 일차식이라 방향 전환 횟수가 곧바로 보입니다. 순서를 바꾸는 순간 계산이 두 배로 늘어나도록 설계된 문항입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇의 속도를 묻고 있나
묻는 대상은 점 A도 점 B도 아니고 선분 AB의 중점 M입니다. 그러니 f′(t), g′(t)를 각각 구하는 건 아직 이릅니다.
먼저 M의 위치 m(t)를 t에 대한 식으로 쓰세요. 중점의 좌표는 어떻게 구했었나요?
힌트 2 — 정리하면 차수가 내려간다
m(t)=½{f(t)+g(t)}=½{(t³−2t+2)+(−t³+2t²−6t+4)}.
괄호를 풀면 t³과 −t³이 사라집니다. 남는 식을 끝까지 정리해 보세요. 3차가 아니라 2차가 나옵니다.
힌트 3 — 방향이 바뀌는 횟수 세기
m(t)=t²−4t+3이면 속도는 v=m′(t)=2t−4입니다.
운동 방향이 바뀌는 순간은 v=0이면서 그 앞뒤로 v의 부호가 실제로 바뀌는 시각입니다. v가 일차식이므로 t=2 하나뿐이고, 부호는 −에서 +로 확실히 넘어갑니다. 서술형이므로 이 부호 변화를 한 줄 적어 주세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설·채점기준 펼치기

정답 1번  (t = 2에서 1회)

쎈 미적분1 0695번 해설

채점 기준

채점 기준 비율
❶ 점 M의 위치를 구할 수 있다 30%
❷ 점 M의 속도를 구할 수 있다 20%
❸ 점 M이 운동 방향을 몇 번 바꾸는지 구할 수 있다 50%

풀이영상

다른 길 — 속도를 먼저 평균 내기

중점의 속도는 두 점 속도의 평균입니다. f′(t)=3t²−2, g′(t)=−3t²+4t−6이므로
v=½{f′(t)+g′(t)}=½(4t−8)=2t−4. 위치식을 거치지 않아도 같은 결과가 나옵니다.
다만 서술형에서는 “중점의 속도=속도의 평균”이라는 근거를 한 줄 밝혀야 하고, 채점 기준 ❶(위치 30%)이 위치식을 요구하므로 시험장에서는 m(t)를 먼저 쓰는 쪽이 안전합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • A와 B의 운동 방향을 각각 세고 있다
    f′(t)=0, g′(t)=0의 해를 아무리 정확히 구해도 묻는 것은 중점 M의 방향 전환입니다. 문제가 지목한 대상을 문장에서 다시 확인한 뒤 식을 세우세요.
  • 중점 식에서 ½을 빠뜨린다
    m=f+g로 두면 v=4t−8이 되어 t=2라는 답은 우연히 같습니다. 하지만 채점 기준 ❶이 ‘점 M의 위치’라서 위치식이 틀리면 30%가 그대로 날아갑니다. 답만 맞고 감점되는 대표 유형입니다.
  • v=0인 t만 적고 끝낸다
    v=0은 필요조건일 뿐이고, 앞뒤에서 부호가 바뀌어야 방향이 실제로 바뀝니다. “t<2에서 v<0, t>2에서 v>0″이라는 한 줄이 서술형 배점 ❸(50%)의 핵심 근거입니다.
  • 답을 t=2라고 쓴다
    물은 것은 시각이 아니라 횟수입니다. 마지막에 “따라서 1번”이라고 명시해서 마무리하세요.
  • t의 범위를 생각하지 않는다
    시각은 t≥0에서만 의미가 있습니다. 이 문항은 t=2가 범위 안이라 문제가 없지만, 해가 음수로 나오는 문항에서는 그 해를 버려야 합니다. 습관으로 한 번 확인하세요.


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