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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 — 속도와 가속도
0694
난이도 중
운동 방향이 바뀌지 않을 조건
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문제를 읽자마자
출제의도
“운동 방향이 바뀌지 않는다”를 속도의 부호가 유지된다로 번역하는 문제
말은 물리처럼 생겼지만 실제로 묻는 건 이차부등식입니다. v=x′을 구하면 아래로 볼록한 이차함수가 나오고, 그 최솟값이 0 이상이면 끝입니다. 진짜 채점 포인트는 축 t=10/3이 정의역 t≥0 안에 있는지를 확인했느냐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건을 식으로 바꾸기
운동 방향이 바뀐다는 건 속도 v의 부호가 바뀐다는 뜻입니다. 그러니 방향이 바뀌지 않으려면 t≥0에서 항상 v≥0이거나 항상 v≤0이어야 합니다.
먼저 v=dx/dt를 직접 구해 보세요.
먼저 v=dx/dt를 직접 구해 보세요.
힌트 2 — 두 갈래 중 하나는 버린다
v=3t²−20t+a+1입니다. 최고차항의 계수가 3>0이므로 t가 커지면 v는 반드시 양수로 갑니다.
따라서 “항상 v≤0″은 애초에 불가능합니다. 남는 조건은 t≥0에서 항상 v≥0 하나뿐입니다.
따라서 “항상 v≤0″은 애초에 불가능합니다. 남는 조건은 t≥0에서 항상 v≥0 하나뿐입니다.
힌트 3 — 최솟값은 어디에서 나오나
완전제곱으로 고치면 v=3(t−10/3)²+a−97/3입니다. 축이 t=10/3이고 이 값은 t≥0 안에 있으므로, 최솟값은 v(0)이 아니라 a−97/3입니다.
a−97/3≥0을 풀면 a≥97/3=32.33…. 물은 것은 자연수 a의 최솟값입니다.
a−97/3≥0을 풀면 a≥97/3=32.33…. 물은 것은 자연수 a의 최솟값입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ a = 33
풀이영상
다른 길 — 판별식으로 처리하기
축 t=10/3이 t≥0 안에 있으므로 “t≥0에서 v≥0″은 “모든 실수 t에서 v≥0″과 같은 조건이 됩니다.
따라서 D/4=(−10)²−3(a+1)≤0 ⟹ 100−3a−3≤0 ⟹ 3a≥97 ⟹ a≥97/3. 같은 답이 한 줄에 나옵니다. 단, 축이 음수였다면 이 방법을 그대로 쓸 수 없다는 점은 기억해 두세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
축의 위치를 확인하지 않고 v(0)≥0만 본다
그러면 a+1≥0, 즉 a≥−1이라는 엉뚱한 답이 나옵니다. 축 t=10/3이 정의역 안에 있으므로 t=0은 최솟값 자리가 아닙니다. 이차부등식 문제에서 정의역이 t≥0으로 제한되면 축의 위치부터 확인하세요. -
“항상 v≤0″인 경우를 붙잡고 계산한다
t²의 계수가 3으로 양수이면 t가 커질 때 v는 반드시 양수가 됩니다. 한 줄로 배제하고 넘어가야 시간을 벌 수 있습니다. -
운동 방향이 바뀌지 않는다 = v≠0으로 오해한다
v=0이 되는 순간이 있어도 그 앞뒤에서 부호가 그대로면 방향은 바뀌지 않습니다. 그래서 등호(D=0, 접하는 경우)가 포함됩니다. -
97/3을 32로 잘라 읽는다
97/3=32.33…이고 조건은 a≥97/3입니다. 32는 조건을 만족하지 않습니다. 부등호 방향이 ≥일 때는 소수점을 올려야 합니다. -
완전제곱에서 상수항을 흘린다
3(t−10/3)²을 펴면 3t²−20t+100/3입니다. 여기에 +a+1을 맞추면 a+1−100/3=a−97/3. 이 계산에서 1을 빠뜨리면 a≥100/3이 되어 답이 34로 바뀝니다.
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