쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 속도와 가속도
0688
난이도 상
서술형
두 점의 속도
풀이영상 있음
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풀이영상
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 t에서의 위치를 각각 f(t), g(t)라 하면
f(t) − g(t) = 2t³ − 9t² + at + b
이다. t=1에서 두 점 P, Q가 처음으로 만나고, 그때의 속도가 같았을 때, 속도가 다시 같아지는 시각에서의 두 점 사이의 거리를 구하시오.
(단, a, b는 상수이다.)
문제를 읽자마자
출제의도
두 점을 따로 보지 말고, 차 h(t)=f(t)−g(t) 하나로 묶어서 보라는 문제
문제가 준 것은 f와 g가 아니라 그 차뿐입니다. 출제자는 처음부터 f, g를 각각 구할 수 없게 만들어 놓았습니다. “만난다 → h=0”, “속도가 같다 → h′=0”, “사이의 거리 → |h|” 이 세 줄의 번역이 문제의 전부이고, 나머지는 3차식 인수분해입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
f(t)와 g(t)를 각각 구하려 하고 있다면 멈추세요. 주어진 정보로는 절대 구해지지 않습니다.
h(t)=f(t)−g(t)로 놓으면, 문제의 조건 세 개가 전부 h 하나에 대한 조건으로 바뀝니다. 먼저 h′(t)를 구해 두세요.
h(t)=f(t)−g(t)로 놓으면, 문제의 조건 세 개가 전부 h 하나에 대한 조건으로 바뀝니다. 먼저 h′(t)를 구해 두세요.
힌트 2 — 조건을 식으로 번역하기
“t=1에서 만난다”는 두 위치가 같다는 뜻이니 h(1)=0, “그때 속도가 같다”는 두 속도가 같다는 뜻이니 h′(1)=0입니다.
h′(t)=6t²−18t+a이므로 h′(1)=0 쪽을 먼저 계산하면 a가 한 번에 나옵니다. 그다음 h(1)=0에 넣어 b를 구하세요.
h′(t)=6t²−18t+a이므로 h′(1)=0 쪽을 먼저 계산하면 a가 한 번에 나옵니다. 그다음 h(1)=0에 넣어 b를 구하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
h′(t)=6t²−18t+12=6(t−1)(t−2)가 되었나요? t=1은 문제에 이미 나온 시각이므로, “다시” 같아지는 시각은 나머지 하나입니다.
그리고 문제가 물은 것은 h(2)의 값이 아니라 두 점 사이의 거리입니다. 거리는 음수가 될 수 없습니다.
그리고 문제가 물은 것은 h(2)의 값이 아니라 두 점 사이의 거리입니다. 거리는 음수가 될 수 없습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
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정답 1
더 빠른 길 — 중근으로 보기
h(1)=0이면서 h′(1)=0이라는 것은 h(t)가 (t−1)²을 인수로 갖는다는 뜻입니다. 최고차항이 2t³이므로 h(t)=(t−1)²(2t+k) 꼴이고, 상수항 비교로 −9t²을 맞추면 k=−5.
즉 h(t)=(t−1)²(2t−5)이고 h(2)=1²×(−1)=−1이므로 거리는 1. a, b를 따로 구하지 않고도 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(t)와 g(t)를 각각 구하려 든다
주어진 것은 차 하나뿐입니다. 두 점 문제에서 “만난다 / 속도가 같다 / 사이의 거리”만 물으면 전부 차 h(t)로 처리됩니다. -
조건 두 개 중 하나만 쓴다
미지수가 a, b 두 개이므로 식도 두 개가 필요합니다. “처음으로 만나고”(h(1)=0)와 “그때 속도가 같았다”(h′(1)=0)는 서로 다른 조건입니다. -
t=1을 답으로 쓴다
h′(t)=6(t−1)(t−2)의 해는 t=1, t=2입니다. 문제가 물은 것은 속도가 다시 같아지는 시각이므로 t=2입니다. -
h(2)=−1을 그대로 답으로 쓴다
h는 위치의 차이지 거리가 아닙니다. 거리는 |h(2)|=1. 답이 음수로 나왔다면 절댓값을 빠뜨린 것입니다. -
서술형인데 값만 나열한다
배점이 a·b 구하기 40%, 속도가 다시 같아지는 시각 40%, 두 점 사이의 거리 20%로 쪼개져 있습니다. h(1)=0, h′(1)=0으로 두는 근거 문장을 반드시 적으세요.