쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 속도와 가속도 · 유형 11 가속도
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대표 문제
가속도
풀이영상 있음
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원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가
x = 2t³ − 3t² − 8t
이다. 속도가 4인 순간의 점 P의 가속도를 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
“속도가 4인 순간”은 답이 아니라 시각 t를 찾아내라는 조건
위치 → (미분) → 속도 → (미분) → 가속도. 이 유형의 뼈대는 이 한 줄입니다. 문제가 준 속도값 4는 구할 대상이 아니라 t를 결정하기 위한 방정식의 재료이고, 최종적으로 물은 것은 그 t에서의 가속도입니다. 미분을 두 번 하고, 중간에 t를 한 번 확정하는 3단 구조입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
x에 4를 대입하고 있다면 멈추세요. 4는 위치가 아니라 속도입니다.
먼저 v = dx/dt를 구해 놓으세요. 위치 식 그대로는 아무것도 시작되지 않습니다.
먼저 v = dx/dt를 구해 놓으세요. 위치 식 그대로는 아무것도 시작되지 않습니다.
힌트 2 — 시각 t 확정하기
v = 6t² − 6t − 8입니다. “속도가 4″는 6t² − 6t − 8 = 4라는 방정식이라는 뜻입니다.
정리하면 6t² − 6t − 12 = 0, 양변을 6으로 나누면 t² − t − 2 = 0. 인수분해한 뒤, t ≥ 0이라는 물리적 조건으로 해를 하나만 남기세요.
정리하면 6t² − 6t − 12 = 0, 양변을 6으로 나누면 t² − t − 2 = 0. 인수분해한 뒤, t ≥ 0이라는 물리적 조건으로 해를 하나만 남기세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
t = 2까지 나왔다면 아직 절반입니다. 문제가 물은 것은 시각이 아니라 가속도입니다.
가속도는 a = dv/dt = 12t − 6. 여기에 t = 2를 넣으세요.
가속도는 a = dv/dt = 12t − 6. 여기에 t = 2를 넣으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 18
계산을 줄이는 습관 — 6으로 먼저 나누기
6t² − 6t − 12 = 0을 그대로 인수분해하려 하면 6(t+1)(t−2) 형태를 떠올려야 해서 실수가 잦습니다. 양변을 6으로 나눠 t² − t − 2 = 0으로 만든 뒤 (t−2)(t+1)=0으로 처리하면 계수 실수가 거의 사라집니다.
속도·가속도 문제의 방정식은 대부분 최고차 계수가 6, 12처럼 큰 값이므로, “먼저 약분”을 고정 습관으로 두세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
위치 식 x에 4를 대입한다
4는 속도값입니다. 위치·속도·가속도 중 어느 층의 값인지 먼저 확인하고 대입하세요. 문제의 숫자마다 층을 표시해 두면 헷갈리지 않습니다. -
t = −1을 버리지 않는다
시각은 음수가 될 수 없습니다. t ≥ 0이라는 한 줄을 근거로 적고 해를 하나만 남기세요. -
t = 2를 구하고 답으로 쓴다
구한 것은 시각이고, 물은 것은 그 시각의 가속도입니다. 문제의 마지막 문장을 다시 읽고 답을 확정하세요. -
미분을 한 번만 하고 멈춘다
가속도는 위치를 두 번 미분한 값입니다. v = 6t² − 6t − 8에서 한 번 더 미분해 a = 12t − 6까지 가야 합니다. -
“원점을 출발”을 조건으로 착각한다
x = 2t³ − 3t² − 8t는 상수항이 없어 이미 x(0)=0입니다. 이 문장은 추가 조건이 아니라 식과 일치한다는 확인일 뿐이니, 여기서 미지수를 만들려 하지 마세요.