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쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 속도와 가속도 · 유형 11 가속도
0690
난이도 중
가속도
풀이영상 있음
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수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가
x = ⅓t³ − 3t² − t + k
이고, 점 P의 가속도가 0일 때 점 P의 위치는 35이다. 이때 상수 k의 값을 구하시오.
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문제를 읽자마자
출제의도
미지수 k는 미분하면 사라진다는 구조를 알아채라는 문제
k는 상수항이므로 속도에도, 가속도에도 등장하지 않습니다. 그래서 k를 모르는 채로도 가속도를 구할 수 있고, 시각 t를 먼저 확정할 수 있습니다. 순서는 가속도로 t를 찾고 → 위치 식에 넣어 k를 역산. 앞의 문제들과 방향이 반대(값을 구하는 게 아니라 미지수를 되돌리는)라는 점만 다릅니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
k가 있어서 손이 멈췄다면, k가 상수라는 점을 보세요. 상수는 미분하면 0이 됩니다.
즉 속도와 가속도를 구하는 동안 k는 신경 쓸 필요가 없습니다. 먼저 v, 그다음 a를 구하세요.
즉 속도와 가속도를 구하는 동안 k는 신경 쓸 필요가 없습니다. 먼저 v, 그다음 a를 구하세요.
힌트 2 — 시각 t 확정하기
v = t² − 6t − 1, a = 2t − 6입니다. “가속도가 0″은 2t − 6 = 0이라는 방정식이므로 t가 하나로 정해집니다.
여기서 나온 t가, 위치가 35라는 조건이 적용되는 바로 그 시각입니다.
여기서 나온 t가, 위치가 35라는 조건이 적용되는 바로 그 시각입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
t = 3을 위치 식에 대입하세요. 속도나 가속도 식이 아닙니다.
⅓·27 = 9, 3·9 = 27이므로 9 − 27 − 3 + k = 35 꼴이 됩니다. 좌변의 상수를 먼저 합쳐 −21 + k 로 정리한 뒤 k를 구하세요.
⅓·27 = 9, 3·9 = 27이므로 9 − 27 − 3 + k = 35 꼴이 됩니다. 좌변의 상수를 먼저 합쳐 −21 + k 로 정리한 뒤 k를 구하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 56
구조로 이해하기 — k는 그래프를 위아래로 옮길 뿐
x(t) = ⅓t³ − 3t² − t + k에서 k는 위치 그래프를 세로로 평행이동시키는 값입니다. 모양(속도·가속도)은 k와 무관하고, 높이만 달라집니다.
그래서 “가속도가 0인 시각”은 k와 상관없이 t = 3으로 고정되고, k는 그 시각의 높이를 35에 맞추는 조절값일 뿐입니다. k = 35 − (−21) = 56으로 읽으면 계산이 한 줄로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
“가속도가 0″을 “속도가 0″으로 읽는다
속도가 0이면 t² − 6t − 1 = 0이라 t가 무리수로 나옵니다. 계산이 갑자기 지저분해졌다면 조건을 잘못 읽은 신호입니다. -
⅓t³의 미분에서 계수를 흘린다
⅓t³을 미분하면 ⅓·3t² = t²입니다. 계수 3이 남거나 ⅓이 남는 실수가 가장 잦은 자리입니다. -
t = 3을 속도·가속도 식에 대입한다
조건 “위치는 35″는 위치 식에 대한 조건입니다. 대입 직전에 지금 쓰는 식이 x인지 v인지 a인지 한 번 확인하세요. -
⅓·3³ 계산을 틀린다
⅓·27 = 9이고 3t²에는 −3·9 = −27, −t에는 −3. 세 항을 각각 적은 뒤 합쳐야 −21이 안정적으로 나옵니다. -
k를 미분 결과에 그대로 남긴다
상수항은 미분하면 0입니다. v나 a의 식에 k가 남아 있다면 그 순간 계산을 되돌리세요.
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