쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 · 유형 10~11 속도와 가속도
0687
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속력의 최댓값
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문제를 읽자마자
출제의도
속도가 아니라 속력, 즉 |v|의 최댓값을 묻고 있다
이 문제가 노리는 단 하나의 함정은 ‘속도의 최댓값’과 ‘속력의 최댓값’의 차이입니다. 속력은 |v|이므로 v가 가장 큰 지점만이 아니라 가장 작은(음수로 큰) 지점도 후보입니다. 제한된 구간 0≤t≤4가 붙은 이유도 여기에 있습니다. 끝점 t=4를 확인하게 만들려는 장치입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 속도부터 만들고 모양을 보라
f(t)는 위치이므로 속도는 v = f′(t) = −t² + 2t + 4입니다.
3차함수의 증감표를 그리려 하지 마세요. 필요한 것은 f가 아니라 v의 최대·최소이고, v는 이차식이므로 완전제곱만 하면 끝납니다.
3차함수의 증감표를 그리려 하지 마세요. 필요한 것은 f가 아니라 v의 최대·최소이고, v는 이차식이므로 완전제곱만 하면 끝납니다.
힌트 2 — 최댓값만 보면 안 된다
v = −(t−1)² + 5. 위로 볼록한 포물선이므로 t=1에서 최댓값 5입니다.
하지만 문제가 물은 것은 속력 |v|입니다. 구간의 끝 t=4에서 v의 값도 반드시 계산해서 음수 쪽 후보를 확인하세요.
하지만 문제가 물은 것은 속력 |v|입니다. 구간의 끝 t=4에서 v의 값도 반드시 계산해서 음수 쪽 후보를 확인하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
0≤t≤4에서 v의 범위는 −4 ≤ v ≤ 5입니다. 따라서 |v|의 최댓값은 5와 |−4|=4 중 큰 쪽인 5, 그때의 시각은 t=1.
M과 a를 따로 적은 뒤 더하세요. 여기서 a는 가속도가 아니라 시각이라는 점을 다시 확인하세요.
M과 a를 따로 적은 뒤 더하세요. 여기서 a는 가속도가 아니라 시각이라는 점을 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ M + a = 6
그래프로 보는 30초 풀이
v = −(t−1)²+5의 그래프를 0≤t≤4에서만 그립니다. 꼭짓점 (1, 5), 오른쪽 끝 (4, −4).
여기에 t축을 거울처럼 두고 음수 부분을 위로 접어 올리면 그것이 |v|의 그래프입니다. 접어 올린 최고점은 4, 원래 최고점은 5이므로 M=5, a=1. 그림 한 장으로 최댓값과 시각이 동시에 읽힙니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
속력과 속도를 같은 말로 읽는다
속력은 |v|입니다. 이 문항은 우연히 답이 같지만, 끝점 값이 −6이었다면 M=6, a=4로 정답이 완전히 달라집니다. ‘속력’이라는 단어를 보면 반드시 음수 쪽 후보까지 확인하는 습관을 들이세요. -
구간의 끝 t=4를 확인하지 않는다
닫힌 구간에서 최대·최소 후보는 꼭짓점과 양 끝점입니다. v(0)=4, v(1)=5, v(4)=−4를 모두 적어 놓고 비교하세요. -
f(t)의 최댓값을 구한다
f는 위치입니다. 문제는 위치가 아니라 속력을 물었습니다. 3차함수 f의 증감표를 그리기 시작했다면 방향이 어긋난 것입니다. -
M+a의 a를 가속도로 오해한다
문제에서 a는 “그때의 시각”으로 정의되어 있습니다. 이 단원은 가속도를 a로 쓰는 관습이 있어 특히 잘 걸립니다. 문제에서 정의한 문자를 그대로 따르세요. -
−t²+2t+4의 완전제곱에서 부호를 놓친다
−(t²−2t)+4 = −(t−1)²+1+4 = −(t−1)²+5. 마이너스로 묶을 때 +1이 밖으로 나오는 자리에서 5가 아닌 3이 나오는 실수가 잦습니다. -
t=1이 주어진 구간 안에 있는지 확인하지 않는다
꼭짓점이 구간 밖이면 최댓값은 끝점에서 결정됩니다. 이번에는 0≤1≤4로 안에 있지만, 확인하는 한 줄은 항상 거치세요.