쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 · 유형 10~11 속도와 가속도
0686
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서술형
두 점의 속도 비교
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문제를 읽자마자
출제의도
속도로 시각을 찾고, 위치로 거리를 재는 2단 구조
묻는 것은 ‘거리’인데 조건은 ‘속도’로 주어졌습니다. 그래서 속도끼리 비교해 t를 먼저 확정하고, 그 t를 원래의 위치식에 되돌려 넣어야 합니다. 속도가 같아진다는 말은 두 점이 만난다는 뜻이 결코 아니라는 것이 이 문항의 핵심이고, 서술형이므로 이 두 단계가 답안에 눈에 보이게 나뉘어 있어야 점수가 나옵니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 두 개의 속도 만들기
주어진 두 식은 위치입니다. 각각 t로 미분해 속도 vP, vQ를 따로 적으세요.
이때 상수항 1/3과 1/2은 미분하면 사라집니다. 하지만 지워 버리지는 마세요. 뒤에서 다시 씁니다.
이때 상수항 1/3과 1/2은 미분하면 사라집니다. 하지만 지워 버리지는 마세요. 뒤에서 다시 씁니다.
힌트 2 — 시각 t 확정하기
vP=2t², vQ=−3t+5입니다. “속도가 같아지는 순간”은 2t² = −3t + 5, 즉 2t²+3t−5=0.
인수분해하면 (2t+5)(t−1)=0이고 두 근이 나옵니다. 시각이므로 t≥0이라는 조건으로 하나를 버려야 합니다. 이 한 줄이 서술형 채점 포인트입니다.
인수분해하면 (2t+5)(t−1)=0이고 두 근이 나옵니다. 시각이므로 t≥0이라는 조건으로 하나를 버려야 합니다. 이 한 줄이 서술형 채점 포인트입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
t=1을 넣을 곳은 속도식이 아니라 처음에 주어진 위치식 xP(t), xQ(t)입니다. 여기서 아까 남겨 둔 1/3, 1/2이 살아납니다.
두 위치를 구했다면 거리는 |xQ(1) − xP(1)|. 거리는 음수가 될 수 없으니 절댓값을 씌워 마무리하세요.
두 위치를 구했다면 거리는 |xQ(1) − xP(1)|. 거리는 음수가 될 수 없으니 절댓값을 씌워 마무리하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 3
채점 기준 — 답안에 이 세 줄이 보여야 만점
| 단계 | 배점 |
|---|---|
| ❶ 두 점 P, Q의 속도를 구할 수 있다 | 40% |
| ❷ 속도가 같아지는 순간의 시각을 구할 수 있다 | 30% |
| ❸ 두 점 P, Q 사이의 거리를 구할 수 있다 | 30% |
답안 작성 순서 — 이대로 세 문단
① vP=2t², vQ=−3t+5 (미분한 결과를 각각 한 줄씩)
② vP=vQ에서 2t²+3t−5=0, (2t+5)(t−1)=0, t≥0이므로 t=1
③ xP(1)=1, xQ(1)=4이므로 거리는 4−1=3
결과만 크게 쓰고 ②의 근거를 생략하면 30%가 통째로 날아갑니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
속도가 같아지는 순간을 두 점이 만나는 순간으로 착각한다
속도가 같다는 것은 두 점이 나란히 같은 빠르기로 움직인다는 뜻일 뿐, 위치가 같다는 뜻이 아닙니다. 위치가 같다면 답이 0이 되어 문제 자체가 성립하지 않습니다. -
t = −5/2를 버리지 않는다
t는 시각이므로 t≥0입니다. 서술형에서는 이 조건을 적고 근을 버려야 ❷ 항목의 30%가 인정됩니다. -
t=1을 위치식이 아니라 속도식에 대입한다
거리를 물었으므로 필요한 것은 위치입니다. 속도값 2를 그대로 답으로 적는 오답이 가장 흔합니다. -
미분하며 지운 상수항 1/3, 1/2을 위치 계산에서도 빼먹는다
xP(1)=2/3+1/3=1, xQ(1)=−3/2+5+1/2=4. 상수항을 흘리면 두 값 모두 어긋나 답이 3이 아닌 값으로 나옵니다. -
거리를 부호 그대로 −3으로 적는다
거리는 위치의 차의 절댓값입니다. 어느 쪽에서 빼든 |xQ−xP|=3. 마지막에 절댓값 기호를 한 번 더 확인하세요. -
계산 과정 없이 답 3만 적는다
서술형은 결과가 아니라 단계에 배점이 붙습니다. 속도 → 시각 → 거리, 세 문단을 눈에 보이게 나눠 쓰는 것만으로 부분점수가 확보됩니다.