쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 · 유형 10~11 속도와 가속도
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속도와 미정계수
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문제를 읽자마자
출제의도
위치를 t로 한 번 미분하면 속도, 그 다음은 대입해서 a를 푸는 것뿐
속도와 가속도 단원의 가장 기본형입니다. 식 안에 문자 a가 섞여 있어서 복잡해 보이지만, a는 상수이고 미분하는 변수는 오직 t입니다. 「위치 → 미분 → 속도 → t=3 대입 → a에 대한 일차방정식」, 이 네 걸음이 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 미분할 것인가
문제가 준 x=t³+at²−2t는 위치입니다. 속도는 위치를 시각으로 미분한 것, 즉 v = dx/dt입니다.
여기서 a는 미지수가 아니라 상수입니다. 미분할 때는 계수처럼 그대로 따라 나옵니다.
여기서 a는 미지수가 아니라 상수입니다. 미분할 때는 계수처럼 그대로 따라 나옵니다.
힌트 2 — 속도 식 만들기
각 항을 t로 미분하면 t³ → 3t², at² → 2at, −2t → −2.
따라서 v = 3t² + 2at − 2입니다. 이제 문제가 준 조건 “t=3일 때 속도가 13″을 이 v에 대입하세요. x에 대입하는 것이 아닙니다.
따라서 v = 3t² + 2at − 2입니다. 이제 문제가 준 조건 “t=3일 때 속도가 13″을 이 v에 대입하세요. x에 대입하는 것이 아닙니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
t=3을 넣으면 27 + 6a − 2 = 13.
좌변을 정리하면 6a = −12. 여기까지 왔다면 답은 한 줄 뒤에 있습니다. 구한 a를 v에 되돌려 넣어 v(3)=13이 나오는지 꼭 검산하세요.
좌변을 정리하면 6a = −12. 여기까지 왔다면 답은 한 줄 뒤에 있습니다. 구한 a를 v에 되돌려 넣어 v(3)=13이 나오는지 꼭 검산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① a = −2
30초 검산 — 답을 되돌려 넣기
a=−2이면 v = 3t² − 4t − 2입니다. t=3을 넣으면 27 − 12 − 2 = 13. 조건과 일치하므로 계산 실수가 없습니다.
객관식 문항은 선택지 5개를 v(3)에 하나씩 넣어 13이 되는 것을 고르는 대입법으로도 풀리지만, 시간이 더 걸립니다. 검산용으로만 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
t=3을 속도 v가 아니라 위치 x에 대입한다
“속도가 13″이라는 조건입니다. 대입 대상은 미분한 뒤의 식입니다. 문제 문장에서 ‘위치’와 ‘속도’ 두 단어에 먼저 표시를 해 두세요. -
at²을 미분하면서 a를 함께 미분한다
a는 상수입니다. at² → 2at. a가 사라지거나 at로 줄어들면 그 순간 답이 달라집니다. -
−2t의 미분값 −2를 흘린다
일차항의 미분은 계수만 남습니다. 이 −2를 빠뜨리면 27+6a=13이 되어 a=−7/3 같은 선택지에 없는 값이 나옵니다. -
27+6a−2를 25+6a로 정리하지 않고 계산한다
암산으로 넘기다 부호가 뒤집히는 자리입니다. 25+6a=13 → 6a=−12를 한 줄로 반드시 적으세요. -
구한 a를 검산 없이 넘긴다
v(3)=13이 실제로 성립하는지 되돌려 넣는 데 10초면 충분합니다. 기본형 문항에서의 계산 실수가 실전에서 가장 아깝습니다.