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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 방정식과 부등식에의 활용
난이도 중
실근의 부호와 그래프
풀이영상 있음
방정식 x⁴ − 4x³ − x² = x² − 12x + k 가 서로 다른 두 개의 양근과 서로 다른 두 개의 음근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위가 a < k < b일 때, b − a의 값은?
① 5② 6③ 7④ 8⑤ 9
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출제의도
근의 개수가 아니라 부호를 물었다 — 기준선은 y축, 즉 f(0)
k를 한쪽으로 몰아 y = f(x)와 y = k의 교점 문제로 바꾸는 것까지는 앞 문항과 같습니다. 이 문제가 한 칸 더 나가는 지점은 “교점이 4개”에서 멈추지 않고 “그중 2개는 y축 왼쪽, 2개는 오른쪽”을 요구한다는 것입니다. 교점의 x좌표 부호를 가르는 경계는 언제나 f(0)의 값이고, 여기서는 f(0) = 0이라 경계가 k = 0으로 딱 떨어집니다.
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 식부터 정리하기
양변을 정리하면 x⁴ − 4x³ − 2x² + 12x = k. 좌변의 −x²과 우변의 x²을 합쳐 −2x²이 되고, −12x가 부호를 바꿔 +12x로 넘어옵니다. 여기서 부호 하나만 틀려도 뒤가 전부 어긋납니다.
힌트 2 — 그래프의 뼈대 세우기
극값은 f(−1) = −9, f(1) = 7, f(3) = −9. 극솟값이 −9로 두 번 같다는 점을 놓치지 마세요. 이 그래프와 직선 y = k가 서로 다른 네 점에서 만나려면 k의 범위는?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
네 교점 중 x < −1에 있는 것과 1 < x, 3 < x에 있는 것은 부호가 이미 정해져 있습니다. 부호가 k에 따라 움직이는 교점은 −1과 1 사이의 하나뿐입니다. 그 교점이 음수가 되려면 k는 f(0)과 어떤 관계여야 할까요? f(0) = 0입니다.
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ b − a = 9
k = 0을 넣으면 x⁴ − 4x³ − 2x² + 12x = 0, 즉 x(x³ − 4x² − 2x + 12) = 0이 되어 x = 0이 근으로 등장합니다. 0은 양근도 음근도 아니므로 조건이 깨지고, 이것이 b = 0인 이유입니다.
같은 방식으로 k = −9를 넣으면 x = −1, x = 3이 각각 중근이 되어 “서로 다른” 네 근이 무너집니다. 부등호에 등호가 들어가지 않는 이유를 이렇게 손으로 확인해 두면 시험장에서 흔들리지 않습니다.
실수를 줄이는 전략
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이항할 때 −2x², +12x에서 부호가 틀린다
x⁴ − 4x³ − x² = x² − 12x + k에서 우변을 넘기면 x²은 −x²과 합쳐져 −2x², −12x는 +12x가 됩니다. −x²을 그대로 두거나 −12x를 그대로 옮기는 실수가 가장 많습니다. 정리한 식에 x = 1을 대입해 7이 나오는지 30초 검산하세요. -
교점 4개 조건만 쓰고 −9 < k < 7로 끝낸다
이러면 b − a = 16이 나오고 선택지에 없습니다. 선택지에 답이 없으면 계산이 아니라 조건을 덜 쓴 것입니다. 문제는 “네 실근”이 아니라 “양근 2개, 음근 2개”를 요구했습니다. -
f(0)을 계산하지 않고 그래프를 감으로 그린다
근의 부호 문제에서 y축의 위치를 모르면 그래프가 아무 정보도 주지 못합니다. f(0) = 0을 먼저 구해 원점을 지난다는 사실을 그림에 표시한 뒤 직선 y = k를 올리고 내려 보세요. -
극솟값이 −9로 두 번 같은 것을 놓친다
f(−1) = f(3) = −9입니다. 이 값이 다르다고 잘못 계산하면 k = −9 근처의 근의 개수 판단이 통째로 달라집니다. 증감표의 −9가 양쪽에 같은 값으로 적혔는지 확인하세요. -
a와 b를 바꿔 넣어 b − a = −9로 답한다
a < k < b이므로 a는 작은 쪽 −9, b는 큰 쪽 0입니다. b − a = 0 − (−9) = 9. 부호가 섞인 뺄셈은 괄호를 반드시 쓰고 한 줄 더 적으세요.
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