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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용
0653
난이도 중
양근의 개수 세기
서술형
풀이영상 있음
난이도 중
양근의 개수 세기
서술형
풀이영상 있음
자연수 k에 대하여 방정식 3x³ − 4x + 3 − k = 0의 양근의 개수를 f(k)라 할 때, f(1) + f(2) + ⋯ + f(10)의 값을 구하시오.
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문제를 읽자마자
출제의도
그래프를 한 번 그려 두고, k를 1부터 10까지 대입하지 말고 세 구간으로 묶어서 세라는 문제
상수분리를 하면 y=3x³−4x+3과 수평선 y=k의 교점 문제가 됩니다. 다만 세는 대상이 “실근”이 아니라 “양근”이라, 그래프에서 y축 오른쪽만 봐야 합니다. 경계가 되는 값은 극솟값 11/9와 y절편 3, 이 두 개뿐이고 나머지 여덟 개의 k는 전부 같은 답이 됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
k를 10번 대입해서 삼차방정식을 열 번 풀 생각이라면 멈추세요. 3x³−4x+3 = k로 상수분리하면 그래프 하나로 열 개를 한꺼번에 처리할 수 있습니다.
g(x)=3x³−4x+3이라 할 때, f(k)는 곡선 y=g(x)와 직선 y=k의 교점 중 x좌표가 양수인 것의 개수입니다.
g(x)=3x³−4x+3이라 할 때, f(k)는 곡선 y=g(x)와 직선 y=k의 교점 중 x좌표가 양수인 것의 개수입니다.
힌트 2 — 필요한 값 세 개만 뽑기
g′(x)=9x²−4=(3x+2)(3x−2)이므로 x=−2/3에서 극대, x=2/3에서 극소.
양근만 세므로 x<0 쪽 극댓값 43/9는 쓸 일이 없습니다. 정말 필요한 값은 g(2/3)=11/9와 g(0)=3 두 개뿐입니다.
x>0에서 그래프는 3에서 출발해 11/9까지 내려갔다가 다시 무한히 올라갑니다.
양근만 세므로 x<0 쪽 극댓값 43/9는 쓸 일이 없습니다. 정말 필요한 값은 g(2/3)=11/9와 g(0)=3 두 개뿐입니다.
x>0에서 그래프는 3에서 출발해 11/9까지 내려갔다가 다시 무한히 올라갑니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
11/9 ≈ 1.22, 그리고 3. 자연수 k를 이 두 값으로 갈라 보세요.
k=1은 11/9보다 아래라 교점 0개, k=2는 11/9와 3 사이라 2개, k=3부터는 3 이상이라 1개입니다.
특히 k=3일 때 g(0)=3이라 x=0에서도 만나지만, 0은 양근이 아닙니다. 마지막에 8을 곱할 때 개수를 정확히 세세요.
k=1은 11/9보다 아래라 교점 0개, k=2는 11/9와 3 사이라 2개, k=3부터는 3 이상이라 1개입니다.
특히 k=3일 때 g(0)=3이라 x=0에서도 만나지만, 0은 양근이 아닙니다. 마지막에 8을 곱할 때 개수를 정확히 세세요.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 10
더 빠른 길 — 오른쪽 반쪽만 그리기
x>0 구간에서 g는 3 → 11/9 → ∞ 로 움직이는 “V자 비슷한” 모양 하나입니다. 이것만 그리면 규칙이 곧바로 보입니다.
k < 11/9 → 0개 / 11/9 < k < 3 → 2개 / k ≥ 3 → 1개.
자연수 10개를 여기에 떨어뜨리면 k=1은 0개, k=2는 2개, k=3~10의 여덟 개는 각각 1개이므로 0+2+8=10.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
양근이 아니라 실근의 개수를 센다
k=2일 때 실근은 3개지만 양근은 2개입니다. 문제가 요구한 단어는 “양근”. 그래프를 그린 뒤 y축 왼쪽을 손으로 가리고 세는 습관을 들이세요. -
k=3에서 x=0을 양근으로 센다
g(0)=3이므로 k=3이면 x=0이 근이 되지만, 0은 양수가 아닙니다. f(3)=2가 아니라 1입니다. 여기서 답이 11로 어긋납니다. -
극댓값 43/9를 조건에 끌어들인다
극대는 x=−2/3, 즉 음수 구간에서 생깁니다. 양근을 세는 데는 전혀 관여하지 않습니다. 경계는 11/9와 3 두 개뿐입니다. -
극솟값 g(2/3)을 잘못 계산한다
3·(8/27) − 4·(2/3) + 3 = 8/9 − 8/3 + 3 = 11/9. 분모를 9로 통일해 (8 − 24 + 27)/9로 정리하면 실수가 줄어듭니다. 이 값이 틀리면 f(2)의 값이 통째로 바뀝니다. -
k=3부터 10까지를 7개로 센다
3, 4, …, 10은 10−3+1 = 8개입니다. 마지막 덧셈에서 1·8을 1·7로 적으면 답이 9가 됩니다. 채점 기준에서 이 합산에만 10%가 배정되어 있습니다. -
f(1)=0을 빠뜨리고 그냥 넘어간다
서술형에서는 “k=1일 때는 x좌표가 양수인 교점이 없으므로 f(1)=0″이라는 한 줄이 있어야 합니다. 0이라고 해서 안 써도 되는 게 아닙니다.
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