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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 방정식과 부등식에의 활용
0655
대표문제
삼차방정식의 근의 판별
풀이영상 있음
대표문제
삼차방정식의 근의 판별
풀이영상 있음
방정식 x³ − 3x² − 24x + n = 0 이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 n의 최댓값과 최솟값의 합은?
① 50② 52③ 54④ 56⑤ 58
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문제를 읽자마자
출제의도
그래프를 그리지 말고 (극댓값) × (극솟값) < 0 한 줄로 끝내라는 유형의 얼굴
삼차함수는 극값을 가질 때 x축을 몇 번 지나는지가 두 극값의 부호만으로 완전히 결정됩니다. 세 실근이면 극값이 x축을 사이에 두고 갈라져 있다는 뜻, 곧 곱이 음수입니다. 이 문항은 그 공식을 처음 쓰게 하려고 배치된 대표문제이고, 마지막에 “정수”라는 단어를 붙여 부등식을 정수 범위로 옮기는 연습까지 한 번에 시킵니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 세울지 정하기
f(x) = x³ − 3x² − 24x + n으로 두고 f′(x) = 3(x + 2)(x − 4)를 구하세요. 극점은 x = −2, x = 4로 n과 무관하게 고정입니다.
서로 다른 세 실근이라는 조건을 두 극값 f(−2), f(4)에 대한 부등식 하나로 바꿔 쓸 수 있나요?
서로 다른 세 실근이라는 조건을 두 극값 f(−2), f(4)에 대한 부등식 하나로 바꿔 쓸 수 있나요?
힌트 2 — 극값을 n으로 표현하기
f(−2) = −8 − 12 + 48 + n = n + 28, f(4) = 64 − 48 − 96 + n = n − 80입니다.
n이 상수항이라 극값이 n만큼 통째로 위아래로 움직인다는 점이 이 문제의 구조입니다. 이제 f(−2)·f(4) < 0을 n에 대한 이차부등식으로 쓰세요.
n이 상수항이라 극값이 n만큼 통째로 위아래로 움직인다는 점이 이 문제의 구조입니다. 이제 f(−2)·f(4) < 0을 n에 대한 이차부등식으로 쓰세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
(n + 28)(n − 80) < 0에서 −28 < n < 80. 등호가 없다는 점을 눈으로 확인하세요.
이 구간에 들어가는 정수 중 가장 큰 것과 가장 작은 것을 각각 따로 종이에 적고 나서 더하세요. 80과 −28을 그대로 쓰면 안 됩니다.
이 구간에 들어가는 정수 중 가장 큰 것과 가장 작은 것을 각각 따로 종이에 적고 나서 더하세요. 80과 −28을 그대로 쓰면 안 됩니다.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 ② 79 + (−27) = 52
다른 풀이 — 상수분리로 옮기기
x³ − 3x² − 24x = −n으로 정리하고 g(x) = x³ − 3x² − 24x를 그립니다. g(−2) = 28, g(4) = −80이므로 직선 y = −n이 세 점에서 만나려면 −80 < −n < 28.
양변에 −1을 곱하며 부등호 방향을 뒤집으면 −28 < n < 80으로 같은 결과가 나옵니다. 공식을 잊었을 때 돌아갈 수 있는 길이지만, 부호 뒤집기에서 사고가 나기 쉬우니 이 문제에서는 공식 쪽이 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
−28 ≤ n ≤ 80으로 놓고 80 + (−28)을 답한다
이 문제는 그 값도 52라서 정답처럼 보이지만 논리는 완전히 틀렸습니다. 다음 시험에서 같은 실수를 하면 그때는 틀립니다. 등호가 들어가면 극값 중 하나가 0이 되어 중근이 생기고, “서로 다른 세 실근”이 무너진다는 것을 반드시 짚고 넘어가세요. -
f(−2)를 계산하면서 −24x 항의 부호를 놓친다
−24 × (−2) = +48입니다. 여기서 −48로 쓰면 n + 28이 n − 68이 되어 이후 전부 어긋납니다. 음수 대입은 괄호를 치고 한 항씩 따로 적으세요. -
극값이 존재하는지 확인하지 않고 공식부터 쓴다
(극댓값)×(극솟값) 판별은 f′(x) = 0이 서로 다른 두 실근을 가질 때만 성립합니다. 이 문항은 f′(x) = 3(x+2)(x−4)라 자동으로 만족하지만, 계수에 문자가 있는 문제에서는 이 확인을 먼저 해야 합니다. -
이차부등식의 해를 n < −28 또는 n > 80으로 뒤집는다
(n+28)(n−80) < 0은 두 근 사이입니다. 부등호가 <이면 사이, >이면 바깥. 헷갈리면 n = 0을 대입해 28 × (−80) < 0이 참인지 확인하면 1초입니다. -
최댓값과 최솟값의 “합”인데 곱하거나 차를 구한다
79 × (−27)이나 79 − (−27)을 계산해 놓고 선택지에 없어 당황하는 경우가 많습니다. 답을 쓰기 전에 문제의 마지막 줄을 다시 읽는 습관을 들이세요.
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