쎈미적분1 0656

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 방정식과 부등식에의 활용

0656
난이도 중
삼차방정식의 근의 판별
풀이영상 있음

방정식 1⁄3 x³ − 2x² + 3x + k = 0 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 k의 값을 구하시오.


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문제를 읽자마자

출제의도

“서로 다른 두 실근”은 삼차방정식에서 한 실근 + 중근이라는 뜻

삼차방정식은 실근을 반드시 하나 이상 가집니다. 그래서 실근이 정확히 두 개라는 말은 세 근 중 둘이 겹쳤다는 뜻이고, 그래프로는 극댓점이나 극솟점이 x축 위에 정확히 얹힌 상황입니다. 앞 문항이 (극댓값)×(극솟값) < 0이었다면 이 문항은 = 0. 부등호를 등호로 바꾸는 순간 답이 범위가 아니라 값 몇 개로 떨어지고, 마지막에 “정수”라는 조건이 그중 하나를 걸러 냅니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 번역하기
삼차방정식이 “서로 다른 두 실근”을 가진다는 말을 그래프로 옮겨 보세요. 실근이 하나도 없을 수는 없으니, 두 개라면 하나는 중근입니다.
그래프가 x축에 닿았다가 되돌아가는 그 지점은 극점입니다. 그러면 두 극값의 곱은 얼마여야 할까요?
힌트 2 — 극점 찾고 극값 계산하기
f(x) = 1⁄3x³ − 2x² + 3x + k라 하면 f′(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)이므로 극점은 x = 1, x = 3.
f(1) = 1⁄3 − 2 + 3 + k = k + 4⁄3, f(3) = 9 − 18 + 9 + k = k. 앞의 1⁄3을 흘리지 않는 것이 관건입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(1)·f(3) = 0에서 (k + 4⁄3)k = 0이므로 k = −4⁄3 또는 k = 0.
두 값 모두 조건을 만족하는 실수지만, 문제가 요구한 것은 정수 k입니다. 후보를 둘 다 적어 놓고 나서 조건으로 하나를 지우세요.

다 풀고 나서

정답과 해설

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정답 k = 0

쎈 미적분Ⅰ 0656번 해설 1
쎈 미적분Ⅰ 0656번 해설 2

다른 풀이 — 상수분리로 보면 그림이 더 선명하다

−k = 1⁄3x³ − 2x² + 3x로 옮기고 g(x) = 1⁄3x³ − 2x² + 3x를 그립니다. 극댓값 g(1) = 4⁄3, 극솟값 g(3) = 0.
직선 y = −k가 곡선과 정확히 두 점에서 만나려면 그 직선이 극댓점이나 극솟점을 지나야 하므로 −k = 4⁄3 또는 −k = 0, 즉 k = −4⁄3 또는 k = 0. 정수 조건으로 k = 0. “두 점에서 만난다 = 접점 하나 + 교점 하나”라는 그림이 머리에 남는 쪽이 이 방법입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • “서로 다른 두 실근”을 < 0으로 처리한다
    바로 앞 0655번의 조건을 그대로 끌고 오는 실수입니다. 세 실근은 < 0, 두 실근(한 실근과 중근)은 = 0, 한 실근과 두 허근은 > 0. 이 세 줄은 문제를 풀기 전에 여백에 먼저 적어 두세요.
  • f(1)에서 1⁄3을 흘린다
    f(1) = 1⁄3 − 2 + 3 + k입니다. 1⁄3을 빼먹으면 f(1) = k + 1이 되어 k = −1이라는 그럴듯한 오답이 나옵니다. 분수 계수가 붙은 삼차식은 대입값을 반드시 통분해서 적으세요.
  • k = −4⁄3도 답에 함께 쓴다
    수학적으로는 맞는 값이지만 문제는 정수를 요구했습니다. 조건 문장에 “정수”가 보이면 문제 번호 옆에 동그라미를 쳐 두고, 답을 쓰기 직전 그 동그라미를 확인하는 습관을 만드세요.
  • 극점 x = 1, 3을 구해 놓고 극값 대신 f′ 값을 쓴다
    판별에 쓰는 것은 f′(1), f′(3)이 아니라 f(1), f(3)입니다. f′는 극점을 찾는 도구일 뿐입니다. 증감표에 f(x) 칸을 반드시 만들어 값을 채우세요.
  • 답을 값이 아니라 개수나 합으로 쓴다
    이 문항은 “정수 k의 값을 구하시오”입니다. 후보가 두 개였다고 해서 합을 적거나 개수 1을 적지 마세요. 최종 답은 0입니다.


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