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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용
0646
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도함수 그래프와 실근의 개수
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문제를 읽자마자
출제의도
f′의 그래프에서 값이 아니라 부호를 읽어 f의 개형을 복원하라
주어진 그래프는 f가 아니라 f′입니다. f의 식은 끝까지 나오지 않고, 나올 필요도 없습니다. f′이 x축을 지나며 부호가 어떻게 바뀌는지만 보면 α·β·γ에서 각각 극소·극대·극소라는 사실이 나오고, 사차함수가 x축과 네 점에서 만나는 조건은 그때 자동으로 결정됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇의 그래프인지부터
그림의 곡선을 f(x)의 그래프로 보고 있다면 멈추세요. 그림에 y=f′(x)라고 적혀 있습니다.
f′의 그래프에서 우리가 쓸 정보는 딱 하나, x축의 위인지 아래인지입니다. α, β, γ를 경계로 네 구간의 부호를 종이에 +, − 로 적어 보세요.
f′의 그래프에서 우리가 쓸 정보는 딱 하나, x축의 위인지 아래인지입니다. α, β, γ를 경계로 네 구간의 부호를 종이에 +, − 로 적어 보세요.
힌트 2 — 증감표로 옮기기
그림에서 f′은 x<α일 때 −, α<x<β일 때 +, β<x<γ일 때 −, x>γ일 때 +입니다.
부호가 −에서 +로 바뀌면 극소, +에서 −로 바뀌면 극대이므로 α에서 극소, β에서 극대, γ에서 극소. 사차함수 y=f(x)는 W자 개형입니다.
부호가 −에서 +로 바뀌면 극소, +에서 −로 바뀌면 극대이므로 α에서 극소, β에서 극대, γ에서 극소. 사차함수 y=f(x)는 W자 개형입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
W자 그래프를 그려 놓고 x축을 어디에 놓아야 교점이 네 개가 되는지 생각하세요.
두 골짜기는 x축 아래로 내려가고 가운데 봉우리는 x축 위로 올라와야 합니다. 즉 f(α)<0, f(β)>0, f(γ)<0. 세 조건 중 하나라도 빠지면 실근은 네 개가 되지 않습니다.
두 골짜기는 x축 아래로 내려가고 가운데 봉우리는 x축 위로 올라와야 합니다. 즉 f(α)<0, f(β)>0, f(γ)<0. 세 조건 중 하나라도 빠지면 실근은 네 개가 되지 않습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ f(α)<0, f(β)>0, f(γ)<0
풀이영상
외워 두면 좋은 판정법 — 사차함수의 실근 개수
최고차항 계수가 양수이고 극값이 세 개인 사차함수는 (극소, 극대, 극소) 구조입니다. 이때 실근의 개수는
네 개 ⟺ 두 극솟값 모두 음수 & 극댓값 양수
세 개 ⟺ 두 극솟값 중 하나가 0
두 개 ⟺ 극댓값이 음수이거나, 한 극솟값만 음수
선택지 문제에서는 이 표만 떠올리면 그래프를 다시 그리지 않아도 바로 고를 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
y=f′(x)의 그래프를 y=f(x)의 그래프로 착각한다
이 착각이 이 유형 오답의 절반입니다. 그림 옆에 적힌 함수 이름에 동그라미부터 치고 시작하세요. f′의 그래프가 극대·극소를 가진다는 것은 f가 변곡점을 가진다는 뜻일 뿐, f의 극값과는 무관합니다. -
x<α 구간의 부호를 확인하지 않는다
그림에서 곡선이 α의 왼쪽에서 x축 아래에 있는지 위에 있는지를 놓치면 α가 극대인지 극소인지가 뒤집힙니다. 네 구간의 부호를 모두 적고 나서 증감표를 만드세요. -
극댓값 조건 f(β)>0을 빠뜨린다
두 골짜기만 x축 아래로 내려도 봉우리가 x축에 닿지 못하면 실근은 두 개뿐입니다. 선택지 ⑤(세 값 모두 음수)가 이 실수를 노린 함정입니다. -
등호를 붙여도 된다고 생각한다
f(α)=0이면 그 지점은 중근이 되어 서로 다른 실근은 세 개가 됩니다. “서로 다른 네 실근”이라는 표현이 있으면 부등호에 등호를 넣지 마세요. -
f의 식을 직접 만들어 보려 한다
α, β, γ가 구체적인 수로 주어지지 않았으므로 식은 나오지 않습니다. 그래프 개형만으로 답이 결정되는 문제라는 것을 처음 30초 안에 판단하세요.
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