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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용
0647
난이도 중
절댓값 그래프와 실근의 개수
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문제를 읽자마자
출제의도
y=|f(x)|를 그린 뒤 가로선을 한 칸씩 올리며 교점 개수가 바뀌는 지점을 잡아라
n이 1부터 10까지 열 개라고 해서 열 번 계산하는 문제가 아닙니다. 교점 개수가 바뀌는 곳은 접힌 그래프의 봉우리 높이 두 곳, 즉 20/3과 4뿐입니다. 이 두 수를 경계로 n을 묶으면 계산은 네 덩어리로 끝납니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
|f(x)|=n을 f(x)=n, f(x)=−n으로 나눠 하나씩 풀려고 하고 있다면 멈추세요. n이 열 개면 방정식이 스무 개가 됩니다.
실근의 개수는 y=|f(x)|의 그래프와 직선 y=n의 교점의 개수입니다. 먼저 f의 극값을 구하세요. f′(x)=x²−2x−3=(x+1)(x−3).
실근의 개수는 y=|f(x)|의 그래프와 직선 y=n의 교점의 개수입니다. 먼저 f의 극값을 구하세요. f′(x)=x²−2x−3=(x+1)(x−3).
힌트 2 — 접어 올리기
f(−1)=20/3, f(3)=−4입니다. 극댓값이 양수, 극솟값이 음수이므로 y=f(x)는 x축과 세 점에서 만납니다.
이제 x축 아래 부분을 위로 접으세요. 접고 나면 봉우리가 두 개 — 높이 20/3인 원래 봉우리와, 접혀 올라온 높이 4인 봉우리입니다. 그래프는 ∞에서 내려와 0을 찍고 20/3까지 올랐다가 0으로 내려오고, 다시 4까지 올랐다가 0으로 내려온 뒤 다시 올라갑니다.
이제 x축 아래 부분을 위로 접으세요. 접고 나면 봉우리가 두 개 — 높이 20/3인 원래 봉우리와, 접혀 올라온 높이 4인 봉우리입니다. 그래프는 ∞에서 내려와 0을 찍고 20/3까지 올랐다가 0으로 내려오고, 다시 4까지 올랐다가 0으로 내려온 뒤 다시 올라갑니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
y=n을 아래에서 위로 올려 보세요. 교점은 n<4에서 6개, n=4에서 5개(접히는 봉우리 꼭짓점에 접함), 4<n<20/3에서 4개, n>20/3에서 2개로 줄어듭니다.
20/3은 약 6.67이므로 n=6까지가 4개, n=7부터 2개입니다. 이 경계를 소수로 바꿔 확인하지 않으면 한 항이 통째로 어긋납니다.
20/3은 약 6.67이므로 n=6까지가 4개, n=7부터 2개입니다. 이 경계를 소수로 바꿔 확인하지 않으면 한 항이 통째로 어긋납니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ Σ ak = 39
풀이영상
접지 않는 길 — 직선 두 개를 대칭으로 올리기
|f(x)|=n은 f(x)=n 또는 f(x)=−n이므로, y=f(x) 그래프 하나에 직선 y=n과 y=−n을 동시에 그어 교점을 합해도 됩니다.
y=n은 n<20/3일 때 3개, n>20/3일 때 1개. y=−n은 −n>−4, 즉 n<4일 때 3개, n=4일 때 2개, n>4일 때 1개.
합하면 n=1,2,3일 때 6개, n=4일 때 5개, n=5,6일 때 4개, n≥7일 때 2개로 같은 결과가 나옵니다. 그래프를 접는 게 헷갈린다면 이 방법이 더 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
20/3을 소수로 바꾸지 않고 구간을 나눈다
20/3≈6.67입니다. 이걸 놓치면 n=6을 2개로, n=7을 4개로 잘못 세어 합이 4씩 어긋납니다. 극값이 분수로 나오면 반드시 소수로 한 번 적어 두세요. -
n=4에서 6개 또는 4개로 센다
y=4는 접혀 올라온 봉우리의 꼭짓점에 접합니다. 접점은 서로 다른 실근으로 한 개만 셉니다. 이 한 문항이 정답을 39에서 38이나 40으로 바꿉니다. -
f(3)을 잘못 계산한다
f(3)=9−9−9+5=−4입니다. (1/3)·27=9를 놓치거나 상수항 +5를 빠뜨리면 접힌 봉우리 높이가 달라져 전체 구간 분할이 무너집니다. -
x축 아래 부분만 그리고 위쪽을 그대로 두는 것을 잊는다
|f(x)|는 음수 부분만 뒤집습니다. 양수 부분은 손대지 않습니다. 접은 그래프에서 봉우리가 두 개, 골짜기(x축에 닿는 점)가 세 개인지 확인하세요. -
a₁₀만 구하고 답으로 적는다
문제가 요구한 것은 an이 아니라 k=1부터 10까지의 합입니다. 3·6+5+2·4+4·2=39. 각 구간에 해당하는 n이 몇 개인지 손가락으로 세어 확인하세요.
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