쎈미적분1 0649

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 · 유형 02

0649
대표문제
방정식 f(x)=k의 실근의 부호
풀이영상 있음

방정식 2x³ + 3x² − 12x + p = 0이 한 개의 양근과 서로 다른 두 개의 음근을 갖도록 하는 실수 p의 값의 범위는?

  • ① −20 < p < 0
  • ② −20 < p < 7
  • ③ −7 < p < 20
  • ④ 0 < p < 7
  • ⑤ 0 < p < 20


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문제를 읽자마자

출제의도

근의 개수가 아니라 근의 부호를 묻는 순간, 기준선은 y축이 된다

실근의 개수만 묻는 문제라면 극댓값·극솟값만 보면 됩니다. 그런데 이 문제는 근이 y축의 어느 쪽에 있는지를 묻습니다. 그러면 극값 두 개에 더해 f(0)의 값이 반드시 필요합니다. 이 문항은 f(0)=0이라 원점을 지나고, 그래서 “0과 20 사이”라는 깔끔한 조건이 나옵니다. 유형 02 전체가 이 한 줄의 반복입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — p를 떼어내기
p가 식 안에 섞여 있으면 그래프를 그릴 수 없습니다. p만 우변으로 넘기세요.
2x³+3x²−12x = −p
이제 왼쪽은 고정된 곡선, 오른쪽은 높이만 움직이는 수평선입니다. 근은 이 둘의 교점의 x좌표가 됩니다.
힌트 2 — 증감표에서 세 개의 수를 챙기기
f(x)=2x³+3x²−12x라 하면 f′(x)=6x²+6x−12=6(x+2)(x−1)이므로 x=−2, x=1에서 극값을 갖습니다.
극댓값 f(−2)=20, 극솟값 f(1)=−7. 여기까지는 누구나 씁니다.
세 번째 수를 빠뜨리지 마세요. f(0)=0 — 이 곡선은 원점을 지납니다. 부호를 판정할 기준이 바로 이 값입니다.
힌트 3 — 수평선을 어디에 놓을까
그래프를 그려 보면, 수평선 y=−p가 원점 높이(0)와 극댓값(20) 사이에 있을 때만 교점의 x좌표가 음수 두 개·양수 한 개가 됩니다.
즉 0 < −p < 20.
마지막이 함정입니다. 각 변에 −1을 곱하면 부등호 방향이 뒤집힙니다. 그대로 옮겨 적지 마세요.

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 ①  −20 < p < 0

쎈 미적분1 0649번 해설

다른 길 — 상수분리 없이 f(0)의 부호로

g(x)=2x³+3x²−12x+p로 두고 세 조건을 나열해도 됩니다.
서로 다른 세 실근 → (극댓값)>0, (극솟값)<0: g(−2)=p+20>0, g(1)=p−7<0.
음근 두 개·양근 한 개 → 근을 α<β<0<γ라 하면 g(0)=2(−α)(−β)(−γ)<0, 즉 g(0)=p<0.
세 조건을 합치면 −20<p<0. 상수분리가 헷갈릴 때 쓰는 안전한 우회로입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 0 < −p < 20에서 부등호를 그대로 옮긴다
    가장 많이 나오는 오답입니다. −1을 곱하면 방향이 바뀌어 −20 < p < 0. 그대로 옮기면 ⑤ 0<p<20을 고르게 됩니다. 선택지 ①과 ⑤가 나란히 있는 것 자체가 출제자의 함정 표시입니다.
  • 극값만 보고 −7 < −p < 20으로 잡는다
    그건 “서로 다른 세 실근”의 조건일 뿐, 부호는 전혀 반영되지 않았습니다. 부호를 물으면 반드시 f(0)을 계산해서 기준선으로 삼으세요. 여기서는 f(0)=0이므로 아래 경계가 −7이 아니라 0입니다.
  • f(0)을 계산하지 않고 그림만 보고 찍는다
    이 문제는 곡선이 우연히 원점을 지나서 쉬워 보이지만, f(0)이 0이 아닌 문항이 바로 뒤에 나옵니다. “부호 문제 = 극값 2개 + f(0) 1개, 총 3개의 수”를 습관으로 만드세요.
  • p를 그대로 둔 채 그래프를 그리려 한다
    p가 남아 있으면 곡선 자체가 위아래로 움직여 개형이 하나로 정해지지 않습니다. 상수분리를 먼저 하고, 움직이는 것은 오직 수평선 하나로 만드세요.
  • “서로 다른”을 놓치고 등호를 포함한다
    −p=0이면 근이 x=0을 포함해 양근이 아니게 되고, −p=20이면 중근이 생겨 “서로 다른 두 개의 음근”이 깨집니다. 양 끝은 반드시 제외입니다.


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