쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0608
난이도 중
최대·최소의 활용; 넓이
풀이영상 있음
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먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
‘수선의 발’이라는 말을 좌표로 번역할 수 있는지 묻는 문제
P(a, −a²+3a)에서 x축에 내린 수선의 발은 x좌표만 그대로 두고 y좌표를 0으로 바꾼 H(a, 0)입니다. 이 번역만 되면 삼각형 OPH는 밑변 OH=a, 높이 PH=−a²+3a인 직각삼각형이고, 나머지는 3차함수의 최댓값 계산입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 세 점의 좌표를 다 적어라
O(0, 0), P(a, −a²+3a), 그리고 H(a, 0). 수선의 발은 x좌표를 공유하고 y좌표가 0인 점입니다.
세 점을 좌표평면에 찍어 보면 O와 H가 x축 위에 나란히 있고, PH가 수직입니다. 어느 변이 밑변인지 바로 보이나요?
세 점을 좌표평면에 찍어 보면 O와 H가 x축 위에 나란히 있고, PH가 수직입니다. 어느 변이 밑변인지 바로 보이나요?
힌트 2 — 밑변과 높이, 그리고 부호
밑변 OH=a, 높이 PH=−a²+3a. 0<a<3에서 곡선이 x축 위쪽에 있으므로 −a²+3a>0이라 절댓값 기호가 필요 없습니다.
따라서 S(a)=½·a·(−a²+3a)=−½a³+(3/2)a². 1/2을 빠뜨리지 마세요.
따라서 S(a)=½·a·(−a²+3a)=−½a³+(3/2)a². 1/2을 빠뜨리지 마세요.
힌트 3 — 임계점 걸러내기
S′(a)=−(3/2)a²+3a=−(3/2)a(a−2). S′(a)=0의 해는 a=0과 a=2인데, 조건이 0<a<3이므로 a=0은 버립니다.
증감표에서 a=2 앞뒤로 +에서 −로 바뀌므로 최대. S(2)를 계산하세요.
증감표에서 a=2 앞뒤로 +에서 −로 바뀌므로 최대. S(2)를 계산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② 2
풀이영상
미분 없이 — 산술평균과 기하평균
S=½a²(3−a)이므로 a²(3−a)를 최대로 만들면 됩니다. a/2, a/2, 3−a 세 양수의 합은 (a/2)+(a/2)+(3−a)=3으로 일정합니다.
산술·기하평균에 의해 (a/2)(a/2)(3−a)≤1, 즉 a²(3−a)≤4이므로 S≤2. 등호는 a/2=3−a, 곧 a=2일 때. 합이 상수가 되도록 쪼개는 것이 요령입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
삼각형 넓이의 ½을 빠뜨린다
답이 4로 나왔다면 이 경우입니다. 밑변×높이까지만 계산하고 멈추는 실수가 압도적으로 많습니다. -
a=0을 임계점으로 함께 남긴다
S′(a)=0의 해는 0과 2지만, 문제 조건이 0<a<3입니다. 범위 밖의 해는 증감표에 넣지 말고 그 자리에서 버리세요. -
수선의 발 H의 좌표를 (0, −a²+3a)로 잘못 잡는다
x축에 내린 수선이므로 y좌표가 0이 됩니다. y축에 내렸다면 x좌표가 0이 되고요. 어느 축에 내렸는지를 먼저 읽으세요. -
높이에 절댓값을 씌우고 경우를 나눈다
0<a<3에서 −a²+3a=a(3−a)>0입니다. 조건이 이미 부호를 정해 줬으니 경우를 나눌 필요가 없습니다. -
a=2를 답으로 적는다
묻는 것은 넓이의 최댓값입니다. S(2)=½·2·2=2까지 계산해야 끝입니다. -
−½a³의 미분에서 부호를 놓친다
S′(a)=−(3/2)a²+3a입니다. 앞 항의 부호가 −라는 것을 유지해야 a(a−2) 꼴로 묶었을 때 최대·최소 판정이 뒤집히지 않습니다.