쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0609
난이도 중
서술형
최대·최소의 활용 ; 넓이
풀이영상 있음
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서술형
최대·최소의 활용 ; 넓이
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먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
움직이는 사다리꼴을 문자 하나로 묶어 넓이를 3차함수로 만들라는 문제
사다리꼴의 윗변 두 끝점은 따로 노는 점이 아닙니다. y=6x−x²이 x=3에 대칭이므로 한 점을 (a, 6a−a²)로 잡으면 나머지 한 점은 자동으로 정해집니다. 변수를 a 하나로 줄이는 순간 넓이는 평범한 3차함수 최대·최소 문제가 됩니다. 서술형이므로 좌표 설정 → S(a) 세우기 → 증감표로 최대 확인의 세 단계를 빠짐없이 적는 것까지가 답안입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 문자로 둘까
먼저 6x−x²=0을 풀어 A(6, 0)을 확정하세요. 아랫변의 길이는 6으로 고정입니다.
움직이는 것은 윗변 하나뿐입니다. 윗변의 왼쪽 끝점을 C(a, 6a−a²)로 두면, 오른쪽 끝점 B의 좌표는 새로 문자를 쓰지 않고도 적을 수 있습니다. 곡선의 축이 x=3이라는 점을 쓰세요.
움직이는 것은 윗변 하나뿐입니다. 윗변의 왼쪽 끝점을 C(a, 6a−a²)로 두면, 오른쪽 끝점 B의 좌표는 새로 문자를 쓰지 않고도 적을 수 있습니다. 곡선의 축이 x=3이라는 점을 쓰세요.
힌트 2 — 윗변과 높이
C가 (a, 6a−a²)이면 대칭점은 B(6−a, 6a−a²)입니다. 따라서 윗변의 길이는 (6−a)−a=6−2a, 높이는 6a−a²입니다. (0<a<3)
사다리꼴 넓이는 ½×(윗변+아랫변)×높이. 여기에 그대로 대입하면 S(a)가 나옵니다.
사다리꼴 넓이는 ½×(윗변+아랫변)×높이. 여기에 그대로 대입하면 S(a)가 나옵니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
정리하면 S(a)=a³−12a²+36a. 미분해서 S′(a)=3(a−2)(a−6), 0<a<3이므로 살아남는 값은 하나뿐입니다.
그리고 문제가 물은 것은 넓이 S가 아니라 사다리꼴의 높이라는 걸 다시 확인하세요.
그리고 문제가 물은 것은 넓이 S가 아니라 사다리꼴의 높이라는 걸 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 8
풀이영상
더 빠른 길 — 인수분해 후 산술·기하평균
S(a)=½{6+(6−2a)}(6a−a²)=(6−a)·a(6−a)=a(6−a)². 양변에 2를 곱해 2a·(6−a)·(6−a)로 보면 세 수의 합이 2a+(6−a)+(6−a)=12로 일정합니다.
따라서 2a(6−a)² ≤ (12/3)³=64, 즉 S(a) ≤ 32이고 등호는 2a=6−a, 곧 a=2일 때. 증감표 없이 최대가 잡히며 높이는 6·2−2²=8입니다. (단, 서술형 답안에는 증감표 풀이를 쓰는 편이 안전합니다.)
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
넓이 32를 답으로 적는다
구하는 것은 넓이가 최대인 사다리꼴의 높이입니다. a=2를 구한 뒤 6a−a²에 다시 넣는 한 줄이 남아 있습니다. -
윗변을 6−2a가 아니라 6−a로 쓴다
윗변은 두 점의 x좌표 차 (6−a)−a입니다. 한쪽 끝점의 x좌표와 길이를 혼동하면 S(a)가 통째로 달라집니다. -
0<a<3을 적지 않는다
S′(a)=0에서 a=2, a=6이 모두 나옵니다. a=6을 버리는 근거가 바로 이 범위이고, 서술형에서는 이 한 줄이 채점 대상입니다. -
사다리꼴 넓이 공식의 ½을 흘린다
(윗변+아랫변)×높이까지만 쓰고 ½을 빠뜨리면 S(a)가 두 배가 됩니다. 최대가 되는 a는 같아서 눈치채기 어렵지만 넓이 값이 틀립니다. -
증감표 없이 “a=2에서 최대”라고 단정한다
서술형 채점기준은 좌표 설정 30%, S(a) 세우기 20%, 높이 구하기 50%로 배점이 나뉩니다. 부호 변화를 보여 주는 증감표가 곧 “최대”의 근거입니다.