쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0610
유형21 대표문제
최대·최소의 활용 ; 부피
풀이영상 있음
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최대·최소의 활용 ; 부피
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문제를 읽자마자
출제의도
부피 문제는 미분이 아니라 닮음에서 시작한다
원기둥의 반지름 x와 높이 y는 서로 독립이 아닙니다. 원뿔 안에 내접한다는 조건이 x와 y를 하나로 묶어 주고, 그 연결고리가 축을 지나는 단면에서 보이는 닮은 삼각형입니다. y=12−2x를 얻는 순간 V는 x에 대한 3차함수가 되고, 나머지는 미분해서 증감표를 그리는 표준 절차입니다. 내접 도형 문제의 첫 손은 언제나 “단면을 그린다”입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 문자부터 세우기
구하려는 것은 원기둥의 부피이므로 필요한 값은 두 개입니다. 원기둥의 밑면 반지름을 x, 높이를 y로 두세요.
여기서 멈추면 미지수가 둘이라 미분을 할 수 없습니다. x와 y를 잇는 식이 반드시 하나 더 나와야 하는데, 그 근거는 “원뿔에 내접한다”뿐입니다.
여기서 멈추면 미지수가 둘이라 미분을 할 수 없습니다. x와 y를 잇는 식이 반드시 하나 더 나와야 하는데, 그 근거는 “원뿔에 내접한다”뿐입니다.
힌트 2 — 단면을 그려라
원뿔의 축을 지나도록 세로로 잘라 보세요. 밑변 12, 높이 12인 이등변삼각형 안에 가로 2x, 세로 y인 직사각형이 들어간 그림이 됩니다.
꼭짓점 쪽의 작은 삼각형과 전체 삼각형이 닮음이므로 6 : 12 = x : (12−y). 여기서 y를 x로 정리하면 y=12−2x이고, 범위는 0<x<6입니다.
꼭짓점 쪽의 작은 삼각형과 전체 삼각형이 닮음이므로 6 : 12 = x : (12−y). 여기서 y를 x로 정리하면 y=12−2x이고, 범위는 0<x<6입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
V(x)=πx²y=2π(6x²−x³). π는 그냥 상수이므로 겁먹지 말고 그대로 미분하세요.
V′(x)=2π(12x−3x²)=−6πx(x−4). 0<x<6에서 부호가 +에서 −로 바뀌는 지점을 찾고, x가 아니라 V(x)의 값을 답으로 적으면 됩니다.
V′(x)=2π(12x−3x²)=−6πx(x−4). 0<x<6에서 부호가 +에서 −로 바뀌는 지점을 찾고, x가 아니라 V(x)의 값을 답으로 적으면 됩니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ 64π
더 빠른 길 — 산술·기하평균
V=2πx²(6−x)=8π·(x/2)·(x/2)·(6−x)로 쪼개면 세 수의 합이 (x/2)+(x/2)+(6−x)=6으로 일정합니다.
따라서 (x/2)(x/2)(6−x) ≤ (6/3)³=8이므로 V ≤ 64π. 등호는 x/2=6−x, 곧 x=4일 때 성립합니다. 객관식이라면 증감표 없이 한 줄로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
닮음비를 뒤집어 y=12−x로 쓴다
대응하는 변끼리 짝지어야 합니다. 반지름 6에 x가, 높이 12에 (12−y)가 대응하므로 6 : 12 = x : (12−y). 단면 그림 없이 암산으로 세우다가 가장 많이 틀리는 지점입니다. -
단면에서 직사각형의 가로를 x로 본다
단면에 나타나는 직사각형의 가로는 지름 2x입니다. 삼각형의 밑변도 12(=2×6)로 잡아야 비가 맞습니다. -
0<x<6을 쓰지 않는다
x는 원뿔 밑면 반지름보다 작아야 하고, 높이 y=12−2x도 양수여야 합니다. 두 조건 모두 0<x<6으로 모입니다. -
x=4를 답으로 고른다
묻는 것은 부피의 최댓값입니다. x=4를 V(x)=2π(6x²−x³)에 다시 넣어 64π까지 가야 끝납니다. -
π를 도중에 잃어버린다
V′(x)를 계산할 때 π를 떼고 미분하는 건 괜찮지만, 최댓값을 적을 때 반드시 다시 붙이세요. 선택지에 64와 64π가 함께 있으면 그대로 걸립니다.