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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 함수의 최대·최소
0597
난이도 중
서술형
구간이 변하는 최댓값
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구간이 변하는 최댓값
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문제를 읽자마자
출제의도
극값을 찾는 문제가 아니라, 구간의 양 끝을 비교하는 문제
구간의 오른쪽 끝 a가 움직이면 최댓값이 앉는 자리도 옮겨갑니다. y=x³+3x²−4는 x=0에서 극소, x=−2에서 극대인데 a>−1이라는 조건 때문에 극대점 x=−2는 애초에 구간 안에 들어올 수 없습니다. 즉 최댓값 후보는 언제나 왼쪽 끝의 고정된 값과 오른쪽 끝의 값, 이 둘뿐입니다. 이 비교를 a=0, 1, 2에 대해 세 번 하면 끝나고, 서술형이므로 세 번의 근거를 각각 남기는 것이 채점 대상입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 임계점 걸러내기
g(x)=x³+3x²−4로 놓으면 g′(x)=3x²+6x=3x(x+2)입니다. 임계점은 x=0과 x=−2 두 개인데, 문제에 붙은 a>−1이라는 단서가 이 중 하나를 지워 줍니다.
어느 쪽이 구간 [−1, a] 안에 남나요?
어느 쪽이 구간 [−1, a] 안에 남나요?
힌트 2 — 증감표를 그리고 나면
구간 안에서 g는 [−1, 0]에서 감소, x≥0에서 증가합니다. 이렇게 감소했다가 증가하는 모양에서 최댓값은 절대 안쪽에 생기지 않습니다.
그렇다면 후보는 g(−1)과 g(a) 둘뿐입니다. 먼저 g(−1)을 계산해서 고정값으로 적어 두세요.
그렇다면 후보는 g(−1)과 g(a) 둘뿐입니다. 먼저 g(−1)을 계산해서 고정값으로 적어 두세요.
힌트 3 — 세 번 비교하기
필요한 값은 네 개입니다. g(−1)=−2, g(0)=−4, g(1)=0, g(2)=16.
a=0일 때는 오른쪽 끝이 오히려 더 작습니다. 이 경우를 그냥 g(0)으로 적어버리면 틀립니다. a=1, a=2에서도 g(−1)=−2와 비교하는 한 줄을 반드시 쓰세요.
a=0일 때는 오른쪽 끝이 오히려 더 작습니다. 이 경우를 그냥 g(0)으로 적어버리면 틀립니다. a=1, a=2에서도 g(−1)=−2와 비교하는 한 줄을 반드시 쓰세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 14 f(0)+f(1)+f(2)
풀이영상
한 걸음 더 — f(a)를 함수로 통째로 구해 보기
오른쪽 끝이 왼쪽 끝을 넘어서는 순간을 찾으면 f(a)의 정체가 드러납니다. g(a)=−2에서 a³+3a²−2=0, 즉 (a+1)(a²+2a−2)=0이므로 a>−1인 해는 a=√3−1 (≈0.73)입니다.
따라서 f(a)=−2 (−1<a≤√3−1), f(a)=a³+3a²−4 (a≥√3−1). a=0은 앞쪽 구간, a=1과 a=2는 뒤쪽 구간에 들어가므로 (−2)+0+16=14로 한 번에 정리됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
극댓값을 최댓값으로 쓴다
x=−2는 극대점이지만 a>−1이므로 구간 [−1, a] 안에 절대 들어오지 않습니다. 임계점을 구한 다음 “이게 구간 안에 있나”를 묻는 습관을 붙이세요. -
a=0일 때 g(0)=−4를 답으로 적는다
[−1, 0]에서 g는 감소합니다. 감소구간의 최댓값은 왼쪽 끝, 즉 f(0)=g(−1)=−2입니다. 가장 많이 틀리는 자리입니다. -
비교 없이 값만 나열한다
서술형 채점기준이 f(0)·f(1)·f(2) 각 30%, 합 계산 10%입니다. 증감표와 “g(−1)과 g(a)를 비교하면”이라는 근거 한 줄이 각 항목의 점수를 지킵니다. -
f(a)를 함수식 g(a)와 같은 것으로 본다
f(a)는 “구간 [−1, a]에서의 최댓값”이라는 새로운 함수입니다. a가 작을 때는 a와 무관하게 −2로 고정된다는 점이 그 증거입니다. -
부호를 흘려 g(1), g(2)를 잘못 계산한다
−4가 상수항입니다. g(1)=1+3−4=0, g(2)=8+12−4=16. 특히 f(1)=0을 −4나 4로 적는 실수가 잦습니다.
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