쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 17 함수의 최대·최소
0596
난이도 중
닫힌구간의 최대·최소
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문제를 읽자마자
출제의도
0594와 똑같은 절차, 다른 물음 — M+m이 아니라 Mm
3차함수의 닫힌구간 최대·최소입니다. f′(x)=3(x+1)(x−3)이므로 임계점 −1, 3이 모두 [−2, 4] 안에 들어오고, 끝점 −2와 4까지 네 개의 함숫값을 비교하면 M=10, m=−22가 나옵니다. 난이도가 올라간 지점은 계산이 아니라 마지막 한 줄입니다. 곱이고, 음수입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
절차는 앞 문제와 완전히 같습니다. f′(x)=3x²−6x−9에서 먼저 3을 묶어 보세요.
남는 x²−2x−3은 곱해서 −3, 더해서 −2가 되는 두 수를 찾으면 바로 인수분해됩니다.
남는 x²−2x−3은 곱해서 −3, 더해서 −2가 되는 두 수를 찾으면 바로 인수분해됩니다.
힌트 2 — 네 개의 함숫값
f′(x)=3(x+1)(x−3)이므로 x=−1, x=3. 둘 다 [−2, 4] 안에 있습니다.
증감표에 −2, −1, 3, 4를 적고 함숫값을 계산하세요. f(−2)에서 (−2)³=−8, −3(−2)²=−12, −9(−2)=+18 — 부호가 세 번 걸립니다.
증감표에 −2, −1, 3, 4를 적고 함숫값을 계산하세요. f(−2)에서 (−2)³=−8, −3(−2)²=−12, −9(−2)=+18 — 부호가 세 번 걸립니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(−2)=3, f(−1)=10, f(3)=−22, f(4)=−15이므로 M=10, m=−22.
여기서 멈추지 마세요. 문제가 요구한 것은 M+m이 아니라 Mm이고, 한쪽이 음수이므로 부호까지 따라옵니다.
여기서 멈추지 마세요. 문제가 요구한 것은 M+m이 아니라 Mm이고, 한쪽이 음수이므로 부호까지 따라옵니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① Mm = −220
풀이영상
비교할 값을 넷에서 둘로 — 3차함수의 개형 활용
최고차항의 계수가 양수인 3차함수는 증가 → 극대 → 감소 → 극소 → 증가 한 가지 모양뿐입니다. 임계점 두 개가 모두 구간 안에 있으면
최댓값은 왼쪽 끝점 f(−2)와 극댓값 f(−1) 중 큰 값, 최솟값은 극솟값 f(3)과 오른쪽 끝점 f(4) 중 작은 값입니다.
즉 max(3, 10)=10, min(−22, −15)=−22. 네 값을 한꺼번에 늘어놓고 헤맬 필요 없이 두 번만 비교하면 됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
Mm을 M+m으로 계산한다
바로 앞 0594가 M+m이었기 때문에 손이 먼저 움직입니다. 10+(−22)=−12는 선택지에 없지만, 값이 겹치는 시험에서는 그대로 오답이 됩니다. -
곱하면서 부호를 흘려 220으로 답한다
10×(−22)=−220입니다. 선택지가 전부 음수라는 것도 부호를 확인하라는 신호입니다. -
f(−2)에서 −9x의 부호를 놓친다
−9×(−2)=+18입니다. −8−12+18+5=3. 음수 대입은 항마다 부호를 따로 적고 나서 더하세요. -
오른쪽 끝점 f(4)=−15를 최솟값으로 본다
극솟값 f(3)=−22가 더 작습니다. 끝점을 후보에 넣는 것과 끝점이 답인 것은 다릅니다. 네 값을 모두 적어 놓고 눈으로 비교하세요. -
f′(x)=3x²−6x−9에서 3을 묶을 때 상수항을 잘못 나눈다
−9÷3=−3이므로 3(x²−2x−3)=3(x+1)(x−3)입니다. −9를 그대로 두면 인수분해가 되지 않아 근의 공식으로 새게 됩니다.