쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 17 함수의 최대·최소
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난이도 하
도함수 그래프 해석
풀이영상 있음
난이도 하
도함수 그래프 해석
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문제를 읽자마자
출제의도
그림에 있는 것은 f가 아니라 f′의 그래프 — 부호만 읽으면 끝나는 문제
계산은 한 줄도 없습니다. 확인할 것은 두 가지뿐입니다. 그래프가 x축과 만나는 점은 어디인가, 그 앞뒤에서 f′의 부호가 어떻게 바뀌는가. 이 그래프는 x=a, x=x₄, x=b에서만 x축과 만나고, 그 사이에서는 부호가 한 번만 바뀝니다. 곡선이 x축에 가까이 다가가는 x₂, x₃ 근처를 극값으로 착각하게 만드는 것이 유일한 함정입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇의 그래프인가
그래프 옆의 라벨을 다시 보세요. y=f′(x)입니다. 그림의 골짜기(x₁ 근처)는 f가 가장 낮은 곳이 아니라, f의 기울기가 가장 급하게 음수인 곳입니다.
f의 최솟값을 찾으려면 f′의 부호를 읽어야 합니다. 높낮이가 아닙니다.
f의 최솟값을 찾으려면 f′의 부호를 읽어야 합니다. 높낮이가 아닙니다.
힌트 2 — f′(x)=0인 x 찾기
f′(x)=0인 x는 그래프가 x축과 만나는 점뿐입니다. 곡선이 x축에 바짝 붙었다가 되돌아 내려간다면 그건 해가 아닙니다.
그런 점이 몇 개인가요? 점선이 그어진 x₁, x₂, x₃, x₅는 위치를 표시한 것일 뿐입니다.
그런 점이 몇 개인가요? 점선이 그어진 x₁, x₂, x₃, x₅는 위치를 표시한 것일 뿐입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x=a, x=x₄, x=b 세 곳입니다. 그래프의 위아래를 보면 (a, x₄)에서 f′<0, (x₄, b)에서 f′>0.
증감표로 옮기면 감소 → 증가, 즉 아래로 꺾이는 지점이 딱 하나. 감소 후 증가하는 구간에서 최솟값의 위치는 어디일 수밖에 없나요?
증감표로 옮기면 감소 → 증가, 즉 아래로 꺾이는 지점이 딱 하나. 감소 후 증가하는 구간에서 최솟값의 위치는 어디일 수밖에 없나요?
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ 최솟값 f(x₄)
풀이영상
더 확실한 길 — f의 개형을 손으로 그려 보기
f′의 부호를 그대로 옮겨 f의 모양을 스케치하세요. x=a에서 출발해 x₄까지 계속 내려가고, x₄부터 b까지 계속 올라가는 V자에 가까운 한 덩어리가 됩니다.
이 그림을 그려 두면 최솟값은 f(x₄), 최댓값은 f(a)와 f(b) 중 큰 값이라는 사실이 한눈에 보입니다. 선택지 다섯 개를 하나씩 대입해 볼 필요가 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f′의 그래프를 f의 그래프로 읽는다
그러면 곡선이 가장 낮은 x₁을 답으로 고르게 됩니다. 그림이 나오는 문제는 y축 라벨이 f인지 f′인지 먼저 소리 내어 확인하세요. -
x축에 가까워지는 지점을 f′=0으로 처리한다
만나지 않으면 해가 아닙니다. x₂, x₃ 부근에서도 f′<0이 유지되므로 f는 그 구간에서 쉬지 않고 감소합니다. -
f′=0이면 무조건 극값이라고 본다
부호가 바뀌어야 극값입니다. 접하기만 하는 점은 f′=0이어도 극값이 아니고, 증감표에서 −0− 또는 +0+로 나타납니다. -
끝점 f(a), f(b)를 후보에서 지워 버린다
이 문제는 감소 후 증가라 끝점이 최소가 될 수 없지만, 최댓값을 물었다면 f(a)와 f(b) 비교가 곧 답이 됩니다. 닫힌구간이면 끝점은 언제나 후보입니다. -
x₅ 근처에서 f′이 크므로 f도 최대라고 생각한다
f′이 큰 곳은 f가 가장 빠르게 증가하는 곳입니다. 이 구간에서 f는 계속 커지므로 f의 최댓값은 오른쪽 끝 f(b)입니다.