쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 17 함수의 최대·최소
0594
대표문제
닫힌구간의 최대·최소
풀이영상 있음
대표문제
닫힌구간의 최대·최소
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먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
극값만 비교하지 말고 구간의 양 끝점까지 표에 올려놓으라는 문제
닫힌구간 [−1, 4]에서의 최대·최소이므로 후보는 ① 구간 내부의 극값 ② 양 끝점의 함숫값입니다. 이 문제의 최댓값 35는 극댓값이 아니라 왼쪽 끝점 f(−1)에서 나옵니다. 극댓값 f(1)=3만 보고 답을 쓰면 그대로 틀리도록 설계된 대표문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
순서를 고정하세요. ① 구간 내부의 극값 → ② f(−1), f(4) → ③ 전부 모아 대소 비교.
먼저 f′(x)=12x³−48x²+36x입니다. 세 항에 공통으로 들어 있는 인수를 먼저 빼면 무엇이 남나요?
먼저 f′(x)=12x³−48x²+36x입니다. 세 항에 공통으로 들어 있는 인수를 먼저 빼면 무엇이 남나요?
힌트 2 — 임계점 세 개
f′(x)=12x(x−1)(x−3)이므로 f′(x)=0에서 x=0, 1, 3. 세 값 모두 [−1, 4] 안에 있습니다.
이제 증감표의 가로줄에 적을 x는 −1, 0, 1, 3, 4 다섯 개입니다. 끝점 두 개를 빠뜨리지 마세요.
이제 증감표의 가로줄에 적을 x는 −1, 0, 1, 3, 4 다섯 개입니다. 끝점 두 개를 빠뜨리지 마세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(1)=3은 극댓값이지만, f(−1)을 계산해 보면 35입니다. 극댓값이 곧 최댓값이라는 생각을 버려야 이 문제가 풀립니다.
다섯 값 중 가장 큰 것이 M, 가장 작은 것이 m. 그리고 문제가 물은 것은 Mm이 아니라 M+m입니다.
다섯 값 중 가장 큰 것이 M, 가장 작은 것이 m. 그리고 문제가 물은 것은 Mm이 아니라 M+m입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ M+m = 6
풀이영상
함숫값을 빠르고 정확하게 — 조립제법
계수 3, −16, 18, 0, −2를 늘어놓고 조립제법으로 계산하면 4차식 대입을 곱셈 한 번씩으로 끝낼 수 있습니다.
x=3: 3 → 3·3−16=−7 → −7·3+18=−3 → −3·3+0=−9 → −9·3−2=−29
x=−1: 3 → −19 → 37 → −37 → 35
거듭제곱을 직접 계산하는 방식보다 부호 실수가 훨씬 줄어듭니다. 검산용으로도 좋습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
극댓값을 그대로 최댓값으로 쓴다
f(1)=3은 극댓값일 뿐입니다. 최댓값은 끝점의 f(−1)=35. 닫힌구간 문제에서 끝점은 항상 후보입니다. -
공통인수 12x를 놓쳐 x=0을 빠뜨린다
12x³−48x²+36x=12x(x−1)(x−3). 상수항이 없는 도함수는 x=0이 반드시 해입니다. 임계점 개수부터 세어 두세요. -
f(3)에서 −16x³을 −16·9로 계산한다
x³=27이므로 −16·27=−432입니다. 3·81=243, 18·9=162 ⟹ 243−432+162−2=−29. -
증감표에 −1과 4를 아예 적지 않는다
표의 첫 칸과 마지막 칸은 언제나 구간의 양 끝점입니다. 칸을 먼저 그려 두면 끝점을 잊지 않습니다. -
M+m 대신 Mm을 계산한다
바로 다음 문제(0596)는 Mm을 묻습니다. 같은 유형이 연달아 나오면 물음의 마지막 기호에 동그라미를 치고 시작하세요.